Bonjour , y-a-t-il un lien entre l'exponentielle fonction inverse de la fonction ln et la notation exponentielle des complexes?

Merci d'avance pour votre réponse .

Agnès.

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Question :

Bonjour , y-a-t-il un lien entre l'exponentielle fonction inverse de la fonction ln et la notation exponentielle des complexes?
Merci d'avance pour votre réponse. Agnès.
Ma réponse :

Oui ! heureusement !!! Je te l'accorde, les programmes du lycée ne font rien pour que l'on comprenne quelque chose. En fait si tu définies l'exponentielle exp : R -> R comme étant l'inverse du log alors tu peux facilement montrer que exp' = exp càd que exp est solution d'une équa diff : y' = y et y(0) = 1. On peut alors montrer (c'est assez facile aussi) que exp s'écrit comme une somme infinie (on dit en série entière) :

exp(x) = Somme (k allant de 0 à +infini) (x^k)/k!

Il faut comprendre cette écriture comme une limite d'une somme finie .... Si tu regardes bien, le x dans cette somme peut très bien être remplacé par un nombre complexe (il peut aussi être remplacé par une matrice carré ou bien encore un opérateur d'un espace de Hilbert ....). On pose donc par definition (cette fois ci) !

exp(z) = Somme (k allant de 0 à +infini) (z^k)/k!

où z est un complexe quelconque. Avec quelques théorèmes de la théorie des séries entières on peut démontrer que :

exp(z + z') = exp(z).exp(z')

ainsi, si z = a + bi avec a et b des réels on a :

exp(a + bi) = exp(a).exp(ib)

On peut montrer que |exp(ib)| = 1. |On pose alors une dernière définition :

cos(b) = Re(exp(ib))

sin(b) = Im(exp(ib))

ainsi on a exp(ib) = cos(b) + i sin(b)

Le truc c'est qu'en Terminale on dit que c'est la définition de exp(ib), mais en fait c'est la définition de cos et sin !!!!

Voilà, j'espère avoir répondu à la question.

Vincent Rohart.
Ecole Nationale Supérieure des Mines de Saint Etienne
Diplomé de 3eme cycle de la Faculté des Sciences de Paris