 Réponse de
Jean-Pol Houbard à la question N°2 du 15/12/01 à 11h 54 :
A la calculette : 36 ! = 3,7199.10 41
Peu importe la valeur des décimales derrière le 3 , il y a 42 chiffres dans
36 !
Les huit derniers sont des zéros (voir méthode proposée par Philippe Larasse - Marc
Demets pour calculer le nombre de zéros en fin d’une factorielle).
Sauf erreur, on a 36 ! = 371993326789901217467999448150835200000000.
J-P Houbard.
 Indication de solution pour
la question N°1 :
La multiplication des
puisssances de 10 apporte 11 zéros ( de 10 à 90, 9 zéros et 100 deux zéros).
Les zéros supplémentaires ne peuvent être apportés que par le produit d'un multiple de
5 terminé par 5 ( ceux terminés par 0 ont déjà été comptabilisés).
A vous de terminer le raisonnement. Jacques.
Solution
proposée par Alain Sebaoun pour la question N°1 :
Pour déterminer le nombre
de 0, je présume, à la fin de 100! en écriture en
base 10, il suffit d'utiliser la décomposition de 100! en facteurs premiers
et remarquer que cette décomposition est de la forme:
100! = 2^n * 5^k * N , (2^n est 2 "puissance n", 5^k est 5 "puissance
k et
N premier avec 2 et 5).
On remarque alors que l'on doit avoir k < n et que le nombre de 0 finissant
100! est k.
Comme :
100! = (5*10*15*...100) * P (P produit des entiers < 100 non multiples de 5)
= 5^20*(1*2*3*...*20)*P
=
5^20*(5^4)*(1*2*3*4*1*6*7*8*9*2*11*12*13*14*3*16*17*18*19*4)*P
(en mettant 5 en facteur)
= 5^24*(1*2*3*4*2*....)*P
on en déduit que le nombre de 0 de 100! est 24.
Alain Sebaoun.
Webmaster de Maths-express
Solution proposée par
Philippe Larasse - Marc Demets :
Bonjour,
Voici une solution assez simple et génerale (elle revient en fait à exprimer
le nombre en base 5)
On emploie la division entière.
Nombre de zéros de 100 !
On fait 100\5 = 20, 20\ 5 = 4
on s'arrête car 4 <5 et on a 20 +4 = 24 zéros
Nombr de zéros de 1000 !
1000 \ 5 = 200
200 | 5 = 40
40\ 5 = 8
8\ 5 =1 on
aura 249 zéros à la fin.
Pour n très grand la limite est de 25% de zéros.
Bien à vous
M. Demets |
Factorielle