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 Question :
- Soient a, b, c, les côtés d'un
triangle ABC, et soient les pieds (D, I) , (E, J), (F,K) des bissectrices intérieures et
extérieures des angles A, B, C sur les 3 côtés de ce triangle.
1) montrer que les cercles de diamètres DI, EJ, FK passent par deux points communs que
l'on déterminera et qui vérifient la relation :
a.MA = b.MB= c.MC
2) en déduire que les milieux P, Q, R de DI, EJ, FK sont alignés. Que peut-on dire des
tangentes en A, B, C au cercle circonscrit au triangle ABC ? Bubu
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Réponse d'Alain :
- Si certains passages de cette réponse
vous semblent insuffisammant détaillés n'hésitez pas à nous demander des précisions
qui seront alors publiées.
1) Nous allons d'abord prouver que b.DB =
cDC.Nous appelons D'
le projeté orthogonal de D sur [AB] et D" le projeté orthogonal de D sur [AC] .
Dans le triangle BD'D rectangle en D' nous avons:
sin(D'BD) = DD'/DB.
Dans le triangle CD"D rectangle en D" nous avons:
sin(D"CD) = DD"/DC.
D'autre part nous avons sin(D'BD) /b = sin(D"CD) /c ( Relations métriques dans un
triangle) et DD'= DD" puisque dans le triangle DD'A, rectangle en D', sin(A/2) =
DD'/AD et dans le triangle DD"A, rectangle en D", sin(A/2) = DD"/AD.
Donc, sin(D'BD) . DB = sin(D"CD) .DC et b.DB = cDC. Un raisonnement analogue donnerait b.IB = cIC,
a.EA= cEC, a.JA= cJC, a.FA= bFB et a.KA= bKB.
Par ailleurs, l'ensemble des points M tels que aMA = bMB est un cercle de diamètre deux
points de [AB] ( qui sont deux barycentres de A et B affectés des coefficients a et b
pour l'un et a et -b pour l'autre) qui ne peuvent donc être que F et K ( puisqu'ils
appartiennent à l'intersection du cercle et du diamètre).
Les points du cercle (C) de diamètre DI sont définis par:b.MB = cMC. Les points du
cercle (C') de diamètre EJ sont définis par:a.MA =cMC. Les points du cercle (C") de
diamètre FK sont définis par:a.MA = bMB.
Les cercles (C), (C') et (C") s'appellent les cercles d'Apollonius du triangle ABC.
Les points d'intersection de (C), (C') et (C") sont donc définis par:
aMA = b.MB = cMC.
Appelons T et S les deux points
d'intersection de (C) et (C') mais alors T et S vérifient b.MB = cMC et a.MA = cMC soit
aussi
a.MA = bMB.
Conclusion les trois cercles passent par les deux points T et S.
2) P, Q et R sont les centres des
cercles (C), (C') et (C") . Mais T et S appartenant à ces trois cercles, [ST] est
une corde commune aux trois cercles et les points P, Q et R appartiennent tous les trois
à la médiatrice de [ST] et sont donc alignés.
(AP) est la tangente en A au cercle circonscrit au triangle ABC.
(BQ) est la tangente en B au cercle circonscrit au triangle ABC.
(CR) est la tangente en C au cercle circonscrit au triangle ABC.
Alain.
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Faisceau harmonique
