|
|
 Question :
- Une fenêtre a la forme d'un rectangle
surmonté d'un triangle équilatéral. Sachant que le périmètre de cette fenêtre est 4
m, déterminer la largeur à 1 cm près, pour laquelle l'aire de la fenêtre est maximale.
Indications :
appeler x la largeur de la fenêtre et montrer que son aire A(x) est donnée par :
A(x) =((-6 + 31/2 )/4)x²
+2x. Maditra.
|
|
Réponse d'Alain Larroche :
- Soit ABE le triangle équilatéral et
BCDE la base rectangulaire.
AB = BE = AE = x BC = DE = y, donc 3x + 2y = 4, et y = (4 - 3x)/2.
L'aire U du triangle équilatéral est égale à BE.AH/2 si AH est la hauteur issue de A.
Or nous savons que la hauteur dans un triangle équilatéral est le produit du côté par 31/2/2.
Donc ici, AH = 31/2/2.x et U =
x².31/2/4.
L'aire V du rectangle de base est égal à xy soit V = x. (4 - 3x)/2.
Finalement l'aire A(x) de la fenêtre est
A(x) = x². 31/2/4 + x. (4 -
3x)/2 = ((-6+31/2)/4)x² +2x.
Donc, A'(x) = ((-6+31/2)/2).x + 2,
et la valeur exacte du maximum ( la valeur annulant A(x)) est
x = 4/(6 - 31/2) = (6 + 31/2)/8.
- A vous de déduire la valeur approchée
demandée.
|
|
Fenêtre
