soit F(n) la suite de Fibonacci ordinaire
(F(n) = F(n-1)+F(n-2) avec F(0)=0 et F(1)=1).
Par ailleurs, soit b =(1-5^0.5)/2 = -0.618.... Le nombre b est la seconde racine du
polynôme caractéristique x^2=x+1, la première étant a = (1+5^0.5)/2.
On a: ab = -1
On vérifie facilement que la suite f(n) proposée dans le sujet s'écrit:
f(n) = 2F(n) - b^(n-1). en effet, les deux membres vérifient la récurrence de Fibonacci
et les deux premiers termes coincident:
2F(0)-b^(-1) = a et 2F(1)-b^0= 2-1 = 1.
Comme b^(n-1) est inférieur à 1 en valeur absolue pour n>=2 et tend vers 0 lorsque n
tend vers l'infini on voit que la différence f(n) - 2F(n) tend vers 0 lorsque n tend vers
l'infini.
Ceci dit, si n pair, b^(n-1) est négatif et int(f(n)) = 2F(n) , la différence
int(f(n))-f(n) tend vers 0.
Par contre, si n impair, b^(n-1) est positif et int(f(n)) = 2F(n)-1.
Dans ce cas int(f(n))-f(n) tend vers -1, lorsque n tend vers l'infini.
Fibonacci
Question de Jean-François
Tabardin du 03/06/01 à 12h :