Chaque terme de la série " sin²(n)+sin²(2n)+. . .+sin²(kn)+. . .+sin²(n.n) " est strictement positif et inférieur à 1.

A) Strictement positif  car :

a) Positif par le carré.

b) Différent de zéro, car la seule façon d’annuler sin(kn) est d’avoir sin(kn) = sin(m.Pi) avec m entier -> kn = m.Pi, or k.n est un nombre entier et m.Pi est irrationnel à cause de Pi. -> sin(kn) est toujours différent de zéro.

B) Inférieur à 1 car :

Pour avoir sin²(kn) = 1, il faudrait |sin(kn)| = 1, c’est à dire (kn) = Pi/2 + mPi. (m entier)

-> il faudrait kn = (Pi/2 + mPi).

kn = Pi(1/2 + m).

Or kn est entier et Pi(1/2+m) est irrationnel -> impossible.

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Comme chaque terme de " sin²(n)+sin²(2n)+...+sin²(kn)+...+sin²(n.n) " est strictement positif et inférieur à 1, la somme minimum est strictement positive, la somme maximum est inférieure à " n " (serait égal à n si chaque terme valait 1, or ils sont tous inférieurs à 1)

On a donc : 0 < sin²(n)+sin²(2n)+. . .+sin²(kn)+. . .+sin²(n.n) < n

Qui donne: 0 < (1/n) .[sin²(n)+sin²(2n)+. . .+sin²(kn)+. . .+sin²(n.n)] < 1 quel que soit n entier.

J-P Houbard.

S_n(x)=(1/n)[sin²(x)+sin²(2x)+...+sin²(k.x)+...+sin²(n.x)]

avec : sin²(k.x)=(1-cos(2k.x))/2 , on obtient :

S_n(x)=(1/n)[n/2-cos(2x)/2-...-cos(2k.x)/2-...-cos(2n.x)/2]

S_n(x)=1/2-(1/2n)[cos(2x)+...+cos(2k.x)+...+cos(2n.x)]

L'égalité suivante est connue, ou se démontre en passant par exp(i.ka) :

[cos(a)+cos(2a)+...+cos(n.a)]=cos((n+1)a/2).sin(n.a/2)/sin(a/2)

avec a=2x, on obtient :

S_n(x)=(1/2)- cos((n+1)x).sin(n.x)/(2n.sin(x))

S_n(x)=(1/2)+ sin²(nx)/(2n) -cos(x).sin(2n.x)/(4n.sin(x))

Pour x fixé et n tendant vers l'infini, il est aisé de montrer que les termes en 1/n tendent vers 0, donc que la limite de S_n(x) est 1/2 . (évidemment avec sin(x) non nul, x différent de ± k.pi)

Par contre, le problème est très difficile si x n'est pas fixé, en l'occurrence dans le cas x=n :

S_n(n)=(1/2)+ sin²(n²)/(2n) -cos(n).sin(2n²)/(4n.sin(n))

En effet, sin²(n²)/(2n) tend vers 0, mais qu'en est-il du terme cos(n).sin(2n²)/(4n.sin(n)) ?

Il faudrait pouvoir montrer que ½ n.sin(n)½ tend vers l'infini. La question est manifestement liée à au fait que p n'est pas un nombre de Louiville, ce qui a été démontré par K.Mahler en 1953 :

Il n'existe pas d'entier p et q tels que ½ p -p/q½ <1/q^m.

Malgré les résultats de D.V. & G.V.Chudnovsky qui ont montré en 1987 que 2£ m<15, il semble, malheureusement, que ce soit encore insuffisant :

Il n'existe pas n et k tels que ½ p -n/k½ <1/k^m, donc tels que ½ kp -n½ <1/k^m-1.

Par suite, ½ kp -n½ >1/k^m-1 et à fortiori, ½ kp -n½ >(p /n)^m-1 .

½ n.sin(kp -n)½ = ½ n.sin(n)½ >n.sin((p /n)^m-1 ) > n(p /n)^m-1.

Finalement, pour n tendant vers l'infini on a : ½ n.sin(n)½ > p ^m-1/n^m-2 . On arrive donc a l'observation suivante :

Si m=2, ce qui est actuellement conjecturé, mais non démontré, on aurait ½ n.sin(n)½ > p ,

donc limite de ½ cos(n).sin(2n²)/(4n.sin(n))½ < 1/4p et par suite :

limite de S_n(n) >(1/2)-1/4p > 0 , ce qui serait déjà une belle avancée !

Comme on sait que m n'est pas inférieur à 2, on ne peut pas conclure de cette façon que ½ n.sin(n)½ tend vers l'infini, donc que la limite de S_n(n) serait 1/2, ce qui n'est donc ni exclu, ni prouvé, malgré les apparences que donnent les calculs numériques.

Le comportement asymptotique de 1/(n.sin(n)) est le point clef. Il faut bien admettre que tout ceci est bien beau, mais ne fait pas avancer ce problème qui semble rejoindre un domaine à la limite des connaissances.

Je suis bien d'accord  que le problème posé a beaucoup à voir avec la suite n|sin(n)| qui ,je pense ,doit tendre vers +infini .Un lecteur de Quadratures se demandait si la suite
nsin(n) n'était pas dense dans R;ça je n'y crois pas trop.
Mais tout ceci n'est que supputation.Le sujet est ardu ce qui ne doit pas nous dissuader de le chercher.
La petitesse de certains sin(n) est-elle compensée par la grandeur du n correspondant?
That is the question.

La fonction n.sin(n) est représentée sur la figure 1 pour (n) variant de un à un milliard. On voit que la plupart des points correspondent à des valeurs élevées, du même ordre de grandeur de n. Toutefois, il subsiste des valeurs faibles, évidemment de plus en plus rares. Mais il n'est pas apparent qu'elles disparaissent complètement.

La répercussion des valeurs faibles de n.sin(n) sur la somme :

S_n=(1/2)+ sin²(n²)/(2n) -cos(n).sin(2n²)/(4n.sin(n))

est évidemment moins spectaculaire, puisque 0£ S_n<1, comme le montre la figure 2.

On voit sur la figure 2 qu'un grand nombre de valeurs sont voisines de 1/2. Toute la question est de savoir si les fluctuations résiduelles autour de cette "limite conjecturée" tendent vers 0 ou non. En plus de quelques fluctuations importantes, de plus en plus rares, on voit qu'il subsiste aussi un niveau de petites fluctuations, mais dont l'affaiblissement n'apparaît pas évident.

Pour mieux visualiser ces fluctuations résiduelles, il est intéressant de représenter ½ S_n-1/2½ en fonction de n, dans des échelles logarithmiques de façon à avoir une vue d'ensemble selon les ordres de grandeurs (Figure 3).

Il y a bien une tendance générale à la raréfaction et à l'affaiblissement des fluctuations, mais cela ne prouve pas que des points éloignés de la valeur (1/2) n'apparaissent pas encore et toujours.

Bien entendu, une telle étude numérique n'apporte aucune preuve générale. Elle ne donne que des indications propres à orienter l'opinion subjective que l'on peut avoir sur la pertinence de la conjecture. Et, malheureusement, ce qui en ressort n'est pas clairement en faveur de cette conjecture.

Je suis bien d'accord avec le point de vue de Guy Philippe.

Ainsi que je l'ai dit précédemment, ceci est lié au fait que p n'est pas un nombre de Liouville, c'est à dire qu'il n'existe pas p et q tels que ½ p-p/q½ <1/q^s . Toute la difficulté est de connaitre la borne inférieure de s (et de le prouver !) ce qui permettrait ensuite de répondre à la question posée en multipliant sin(n) par n^s.

Mais, malgré les résultats de Mignotte (s=20), puis de Chudnovsky (s=14,65) et maintenant le résultat, que je ne connaissais pas, de Hata (s=8,016), on est encore bien loin de la preuve de la conjecture s=2+e.

Voici une autre approche de Sn définie par (1/n)(sin^2(n)+sin^2(2n)+...+sin^2(kn)+...+sin^2(n.n)).

Ce sont seulement quelques réflexions et rien de plus.

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Soit n = k.Pi + Alpha avec 0 < Alpha < Pi.

On a : sin²n = sin²(Alpha).

sin²(2n) = sin²(2Alpha)

. . .

sin²(n.n) = sin²(n.Alpha).

Si n tend vers l’infini, on peut assimiler la somme à l’intégrale. (Même si les erreurs dues à l’échantillonnages peuvent être élevées, la moyenne des erreurs est obligatoirement nulle) ->

Intégrale depuis Alpha jusque n.Alpha de (sin²x.dx).

La résolution est immédiate (avec sin²x = (1-cos2x)/2) ->

Intégrale depuis Alpha jusque n.Alpha de (sin²x.dx)=1/2[(n-1)Alpha – (sin(2nAlpha)-sin(2alpha))/2].

La valeur moyenne par échantillonnage est donc : (avec Delta d’intégration = (n-1)Alpha) ->

Moyenne =1/2[1 – (sin(2nAlpha)-sin(2alpha))/(2.(n-1).Alpha)].

Comme il y a " n " termes à la somme , mais qu’on divise la somme par n, on a :

Sn = 1/2[1 – (sin(2nAlpha)-sin(2alpha))/(2.(n-1).Alpha)]. (1)

Avec n = k.Pi + Alpha avec 0 < Alpha < Pi.

Ceci n’est valable que si n -> infini. Cependant l’erreur est déjà faible même avec n relativement petit.

Cette relation donne des valeurs très proches de la somme véritable. Elle repère tous les " accidents " dans la somme.

Par exemple, si on calcule Sn pour n = 354 et 356, on trouve des valeurs proches de 0,5, mais en n = 355, on calcule :

n = k.Pi + Alpha -> 355 = 113Pi + 0,00003014435 Rd.

-> Alpha = 0,00003014435 Rd.

Dans (1) -> Sn = 0,0000383. Très loin de 0,5.

On trouve la même réponse en calculant réellement Sn.

Quel que soit n (élevé), (1) semble bien être une image très proche de Sn.

L’étude de (1) montre que si n->infini, si on excepte le cas [2.(n-1).Alpha <> infini], Sn tend vers ½.

Reste donc à étudier le cas [2.(n-1).Alpha <> infini] quand n -> infini.

Ce n’est possible que si Alpha -> 0, dans ce cas, on a :

-1 < limite de (sin(2nAlpha)-sin(2alpha))/(2.(n-1).Alpha) < 1.

Ceci peut amener 0 < Sn < 1.

Cela arrive à chaque " accident " de Sn.

Dans l’exemple vu précédemment (n = 355) -> 2(n-1)Alpha = 0,02134 malgré la grande valeur de n.

Pour que 2(n-1)Alpha ne tende pas vers l’infini si n -> infini, il faut que n soit très proche d’un multiple de Pi. Ceci est d’autant plus improbable que n augmente, ce qui explique la raréfaction des " accidents " si n augmente.

Dit autrement, pour que Sn soit sensiblement différent de 0,5 lorsque n -> infini, il faut que le reste de la division de n par le plus grand multiple possible de Pi (qui amène le reste entre 0 et Pi), soit " infiniment " proche de 0.

Ceci ne prouve pas cependant que ce soit impossible mais seulement très improbable.

J-P Houbard.