soient p(1) p(2)...p(n) des nombres premiers, avec p(1)<p(2)<..<p(n).
Montrer que le nombre (p(1)+p(2)...+p(n))/(p(1)*p(2)*...*p(n)) n'est pas entier.

le produit de deux nombres est supérieur à leur somme, sauf dans le cas où l'un des nombres est 1 et dans le cas où les deux nombres sont égaux à 2. Ces deux cas sont exclus par l'énoncé de la question. Dans ces conditions et à fortiori, le produit de (n) nombres est supérieur à leur somme.

Donc p(1)*p(2)*...*p(n) > p(1)+p(2)+...+p(n)

La fraction (p(1)+p(2)+...+p(n))/(p(1)*p(2)*...*p(n)) est inférieure à 1, donc non entière.

Remarque :

Ceci est vrai pour des nombres entiers quelconques >1 , non nécessairement premiers ni nécessairement différents, excepté le cas du couple (2, 2).

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