 Réponse de J-P Houbard
(08/03/01 à 10h33) :
Quelques lignes qui pourront je l'espère aider
Renald. Je lui conseille de visiter les 2 sites internets bien plus complets
mentionnés ci-dessous. La définition générale d’une
" loi de composition " fait appel à 3 ensembles. Si ces 3 ensembles sont
identiques, alors la loi de composition est dite interne. Il n’en reste pas moins
qu’on est parti de 3 ensembles
même si ceux-ci sont identiques.
A la page internet http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/dico/loi.html
On peut trouver ceci : Etant donnés trois ensembles
E, F et G (non vides), toute application de E x F (produit cartésien de E par F) vers G est appelée
loi de composition de E x F à valeurs dans G.
- Une loi de composition interne (ou simplement loi interne) dans E est une
loi de composition de E x E à valeurs dans E (cas E = F = G).
- L'addition est une loi interne dans N, ensemble des entiers naturels;
- La soustraction n'est pas une loi interne dans N : 2 - 3 n'est pas un entier naturel,
mais elle en est une dans Z, ensemble des entiers relatifs.
De ce qui précède, on peut dire que l’addition (ou la multiplication ou ...) est
une loi de composition interne dans N. Mais cette loi appliquée à 2 éléments de
l’ensemble donne un troisième élément de cet ensemble (ce 3éme élément pouvant
ou non être identique à un des 2 autres). Un exemple : La multiplication est une
loi de composition interne dans N. Soit 5 et 9 deux éléments de cet ensemble, si on leur
applique une multiplication, on trouve 45 faisant aussi partie de N. On peut bien-entendu
remplacer 5 et 9 par n'importe quels autres nombres de l'ensemble N. La définition
générale de la relation fait
appel à 2 ensembles, ces 2 ensembles pouvant être identiques. A la page internet http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/dico/fonctions.html
On peut trouver ceci :Considérons deux ensembles non vides E et F. Si à
certains éléments de E on peut associer par une règle mathématique précise R (non
ambiguë) un élément y de F, on définit ainsi une relation de E vers F dite binaire
car faisant intervenir deux éléments. On écrit :
R : E ->F et x R y
Lorsque E = F, on parle de relation binaire dans
E
Exemple, si dans l’ensemble Z, on pose :
x C y ssi x est le carré de y.
On a 9 C 3 mais l'assertion 7 C 2 est fausse.
Réponse de Jean Jacquelin
(09/03/01 à 18h 08) :
On trouve des explications claires de ces notions dans, par exemple, l'Atlas des
Mathématiques" dans la collection Livre de Poche, § théorie des ensembles /
Relations et structures (Voir p.31 dans l'édition 1999). Des exemples sont donnés sur
des schémas simples.
D'une façon succincte et superficielle, en voici quelques extraits :
Relations : "Elles peuvent être interprétées comme des
correspondances…selon un critère déterminé..."
"Une relation… surjective à gauche et univoque est appelée application
(voir fig.A)"
Les compositions sont d'une autre nature. Ce sont des opérations qui permettent
de réaliser des relations composées c'est à dire "enchaîner", selon des
règles données, plusieurs relations et en définir ainsi une relation résultante. Il y
a donc des compositions de relations et des compositions d'applications.
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Théorie des groupes
