 Réponse de J-P Houbard
(08/03/01) (8h 26 ) :
si on introduit les incertitudes sur a et b dans le produit a.b, celui-ci
devient:
(a + delta(a)) . (b + delta(b)) = (a.b) + ( a. delta(b)) + (
b. delta(a)) + (delta(a) . delta(b)).
La différence entre le produit ab et ce qu'il devient lorsqu'on tient compte des
incertitudes sur a et b est donc:
delta(ab) = [(a.b) + ( a. delta(b)) + ( b. delta(a))
+ (delta(a) . delta(b))] - (a.b)
delta (ab) = ( a. delta(b)) + ( b. delta(a)) + (delta(a)
. delta(b))
Mais comme delta(a) est l'incertitude sur a, on a delta(a) << a, de même on
a delta(b) <<b . On peut donc dire que (delta(a) . delta(b)) << b
. delta(a) ou aussi que
(delta(a) . delta(b)) << a . delta(b) , de telle sorte que le
produit (delta(a) . delta(b)) peut être négligé dans
l'expression de delta(ab). On a donc: delta (ab) = ( a.
delta(b)) + ( b. delta(a)) En divisant les 2 membres par le produit a.b,
il vient:
delta (ab)/(a.b) = delta(b)/b + delta(a)/a
Réponse de Jean Jacquelin
(08/03/01) (12h 32 ) :
supposons que l'incertitude sur (a) soit (da).On
sait seulement que la valeur exacte est comprise entre (a-da)
et (a+da).De même pour (b), la valeur exacte est
comprise entre (b-db) et (b+db).La
valeur exacte du produit (ab) sera donc comprise entre (a-da)(b-db) et (a+da)(b+db). En développant, on trouve (ab-adb-bda+dadb) et (ab+adb+bda+dadb). L'incertitude sur (ab) est donc, au maximum, de (adb+bda+dadb). L'incertitude
relative sur (ab) est (adb+bda+dadb)/ab = [db/b+da/a+(da/a)(db/b)]
Ceci en toute rigueur. Mais en pratique ?
Par exemple si on fait des mesures à 1% près donc dans ce cas da/a=db/b=0,01 on a (da/a)(db/b)=0,0001. Les incertitudes ne sont pas connues avec
une si grande précision ! Autrement dit, c'est négligeable.
On dit que (dadb)
est une incertitude du second ordre par rapport aux incertitudes du premier ordre da et db.
Résultat pratique: l'incertitude relative sur (ab) est environ : [db/b+da/a]
Et lorsque l'on fait ce genre de calcul sur des fonctions plus compliquées, il suffit
de conserver dans les développements les termes principaux (ici a et b), ainsi que les
termes du premier ordre (ici da et db) et de négliger les termes d'ordre supérieur (ici dadb).
Réponse d'Ivan Nourdin
(08/03/01) (18h 37 ) :
je ne connaisrien a l'"incertitude
relative" mais ta formule me semble n'être ni plus ni moins qu'une dérivée
logarithmique....?!?
Ivan Nourdin - http://agregmaths.multimania.com
: "Tout sur l'agreg de maths !"
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Incertitude relative