Choix des axes de coordonnées.
Origine au centre du disque de rayon R = 15.
L’axe des y confondu avec la droite joignant les centres des 2 cercles.
L’équation du grand cercle : x² = y² = R² (1).
Le petit cercle de rayon " r " a son centre en (0, R-r), son
équation est donc :
x² - (y – R + r)² = r². (2).
On considère l’épaisseur du solide constante, le centre de gravité se trouve
donc au milieu de celle-ci.
Dans tout ce qui suit, cela permet alors de rester en 2 dimensions.
Comme l’axe des y est axe de symétrie de la figure, le centre de gravité est
donc situé sur cet axe.
Le centre de gravité est alors entièrement défini par son ordonnée (YG),
ordonnée qu’il reste à déterminer.
YG est donné par le rapport N/D où N = la somme [Produit des masses X
distances]
et D étant la somme des masses.
On a: masse = Volume X masse volumique
Volume = Surface X épaisseur X masse volumique.
Comme l’épaisseur et la masse volumique sont constantes, on peut dire que :
YG est donné par le rapport N/D où N = la somme [Produit des surfaces X
distances]
et D étant la somme des surfaces.
Evaluation de l’élément de surface " ds " situé à une
distance " y " de l’axe des x.
Ici je calcule seulement sur la demi figure située à gauche de l’axe des x,
cela est permis pour calculer l’ordonnée du centre de gravité puisque l’autre
partie lui est symétrique.
(1) -> x = - (R²-y²)^(1/2)
(2) -> x = - [r² - (y – R + r)²]^(1/2)
ds = [- (R²-y²)^(1/2) + [r² - (y – R + r)²]^(1/2)]. dy
On a donc :
N = intégrale de –R à R de ds . y
N = intégrale de –R à R de [- (R²-y²)^(1/2)].y.dy + intégrale de R-2r à R de
[r² - (y – R + r)²]^(1/2)]. y.dy
La première partie (a) se trouve en posant y = Rt . . .
La seconde en posant y – R + r = rt, cette seconde partie se divise en 2 autres
dont l’une se trouve comme (a) et l’autre en posant 1 – t² = u².
Le développement donne alors (AUX ERREURS DE CALCUL PRES) :
N = (-Pi/2) . (R-r) .r².
Le calcul de D est immédiat puisque la somme (signée) des surfaces est :
D = (Pi/2) (R² - r²).
N/D = -r² / (R + r).
On a donc : YG = -r² / (R + r).
Si on veut que le centre de gravité soit sur le cercle de rayon r, il faut que :
YG = R – 2r.
On a alors : -r² / (R + r) = R – 2r.
r² + Rr – R² = 0.
r² + 15r – 225 = 0.
r = 9,27 cm.
Calcul de la position de G si r -> R.
YG = -r² / (R + r) = -R²/2R = -R/2.
Ceci, je le rappelle aux erreurs de calcul près.
Jean-Pol Houbard.
Centre d'inertie
Question d'Annso du 15/11/01 à 19h
59 :On "creuse" un disque de 30cm de
diamètre, un disque delta tangent au précédent et de rayon variable r . On appelle G
centre d'inertie du "croissant ainsi formé" . Pour quelle valeur de r , g est
il sur le bord de delta? Quelle est la position de"limite" de g lorsque r
"tend" vers15? 
