Réponse d'Alain Larroche :

puisqu'un module est positif ( car je suppose qur votre z est un nombre complexe et que les barres entourant le z désigne un module) on peut élever chacun des membres de votre inéquation au carré ce qui revient à démontrer que:

|z + z'|² £ (|z|+|z'|)². Or nous savons que |z|² = z.z* si je désigne par z* le conjugué de z.

donc, |z + z'|² = (z+z')(z*+z'*) = zz*+zz'*+z'z*+z'z'* =|z|² +2Re(z'z*) +|z'|².

Et par ailleurs, (|z|+|z'|)² =|z|² +|z'|² + 2|z||z'|.
L'inégalité à démontrer revient donc à: Re(z'z*) £ |z||z'|. (I)

Démonstration N°1 (Niveau terminale) :

nous savons que |z| = |z*|, donc si nous posons U=z'z*, l'inégalité (I) devient Re(U) £ |U| qui est vraie puisque si U = x+iy alors
Re(U)  £ |Re(U)| £ [(Re(U)²]^1/2 £ |U|.
On s'aperçoit que l'égalité n'a lieu que si la partie imaginaire, xy' - yx',  de U est nulle c'est-à-dire si les vecteurs u(x,y) et u'(x',y') sont colinéaires.

Démonstration N°2 (Niveau terminale) :

Soit z=x+iy et z'=x'+iy' alors Re(z'z*) = x'x +yy', |z||z'| = [(x² + y²)(x'²+y'²)]^1/2 et (I) devient en élevant au carré:
x'²x² + y²y'² +2xx'yy' £ (x² + y²)(x'²+y'²)=x'²x² + y²y'²+x²y'²+y²x'².
Ce qui revient à démontrer que 2xx'yy'£ x²y'²+y²x'².
Cette dernière inégalité est vraie puisqu'elle équivaut à:
(xy'-yx')² ³ 0.
On s'aperçoit que l'égalité n'a lieu que si xy' - yx' = 0 On s'aperçoit que l'égalité n'a lieu que si xy' - yx' = 0 c'est-à-dire si les vecteurs u(x,y) et u'(x',y') sont colinéaires.i les vecteurs u(x,y) et u'(x',y') sont colinéaires.

Démonstration N°3 ( Niveau DEUG) :

Soit z=x+iy et z'=x'+iy' alors z*=x-iy, Re(z'z*) = x'x +yy' et |z||z'| = [(x² + y²)(x'²+y'²)]^1/2.
Mais si je considère les vecteurs u(x,y) et v(x',y') cela revient à démontrer que vecteur u.vecteur v (lire u scalaire v) £ ||u||.||v||. Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de Cauchy-Schwarz dont la démonstration se trouve dans n'importe quel livre de cours niveau DEUG ou classe prépa. Avec égalité si et seulement si z et z' sont colinéaires.