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 Question de David
Pouvreau-Séjourné du 20/01/02 à 00h 28 :soit ABCD un
quadrilatère convexe et soit O l'intersection de ses diagonales. On démontre aisément
que O est le barycentre du système ((A;(BCD));(B;(ACD));(C;(ABD));(D;(ABC))), où, par
exemple, (ABC) est l'aire de ABC. Soit ABCDE un pentagone convexe. Soient
A'=(BD)inter(CE); B'=(AD)inter(CE);...;E'=(AC)inter(BD) les intersections de ses
diagonales. A(1)B(1)C(1)D(1)E(1) sera dit polygone diagonal de ABCDE. C'est un pentagone
convexe. Considérons alors la suite des enveloppes convexes des pentagones
P(n)=A(n)B(n)C(n)D(n)E(n) définie de telle sorte que P(0)=ABCDE et que pour tout n non
nul, P(n) est le polygone diagonal de P(n-1). Cette suite converge-t-elle vers un point O?
Le cas échéant, O est-il le barycentre du système
((A;(BCDE));(B;(ACDE));...;(E;(ABCD))), où, par exemple, (ABCD) est l'aire de ABCD ? Le
problème de la convergence suggère l'utilisation du théorème de Cantor Dedekind; la
difficulté réside dans la preuve du fait que les diamètres des P(n) tendent vers 0 (ce
qui, en remarquant que le diamètre d'un polygone est toujours majoré par son
demi-périmètre, revient à prouver que les périmètres tendent vers 0). L'intersection
des enveloppes convexes est nécessairement un compact (suite décroissante de fermés
non-vides) d'aire nulle (un raisonnement par l'absurde le
montre); mais peut-elle être un segment ? Ceci est moins clair. Le problème de la limite
éventuelle est entièrement à résoudre. On peut démontrer avec la propriété
énoncée au départ et avec le théorème d'associativité des barycentres que le point O
défini précédemment est aussi le barycentre du système
((A(1);(BCDE));...;(E(1);(ABCD))), mais cela ne suffit pas encore à prouver que O est
dans l'intersection des enveloppes recherchée. Le problème peut-il être généralisé
à un n-gone convexe, étant donné que la frontière de l'enveloppe convexe d'un tel
polygone est aussi un n-gone convexe (dans le cas général) ?
David Pouvreau-Séjourné
catsej@club-internet.fr
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| Réponse de
Jean Jacquelin du 31/01/02 à 20h 50 : Il est assez facile de trouver des contre-exemples montrant que le
"pentagone diagonal" P(n) ne converge pas vers le barycentre du pentagone
initial. Voici un exemple de construction simple :
Considérons un carré ABCD. Soit H le milieu de AD et la demi-droite
(d) perpendiculaire en H à AD et extérieure au carré. Soit E un point de (d). La figure
ABCDE formée est un pentagone.
Il est facile de constater que tous les "pentagone diagonaux"
sont à l'intérieur du carré. Donc s'ils convergent vers un point, ce est à
l'intérieur du carré.
Considérons maintenant le barycentre du pentagone, dont il est facile
de calculer la position pour une figure aussi simple. On trouve que si EH > (Ö 3).AD le barycentre est à l'extérieur du carré.
Dans ce cas, l'un étant à l'intérieur du carré, l'autre point à
l'extérieur, il est impossible qu'ils soient confondus.
Réponse de
David
Pouvreau-Séjourné du 16/02/02 à 22h 29 :
Votre démonstration est judicieuse ; la suite des polygones diagonaux ne converge pas
vers le barycentre défini initialement, ce qui montre toutefois seulement que le
résultat concernant le quadrialatère ne peut être "étendu" de cette façon
au pentagone. D'autres tentatives de généralisation échouent d'ailleurs également.
Celà reste cependant anecdotique, dans la mesure où le véritable problème concerne la
convergence éventuelle des polygones diagonaux vers un point ou un segment, et la
caractérisation de cette limite. Avez-vous une idée sur la solution de ce problème ?
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Intersections diagonales d'un n-gone convexe
