• Bonjour, pour chaque fonction, l'intégration se fait de zéro à + ¥. La première fonction est f(x) = - ln(x) . exp(-x); la seconde est g(x) = - ( ln(x) )². exp(-x).Merci. Benoît.

Démonstration de :

(cette dernière égalité correpond à la définition de la constante d'Euler notée g.)

La difficulté que l'on rencontre est de choisir des décompositions en série infinies convergentes et restant convergentes après intégration. La limite infinie ne doit plus apparaître dans les sommes et doit être remplacée partout par (m), que l'on fait tendre vers l'infini.

Soit x = t.m

Décomposons ln(t) en série convergente dans le domaine d'intégration :

Transformation de l'intégrale avec y =1-t :

On sait que :

Remarque: on peut établir facilement cette formule en effectuant des intégrations par parties successives telles que :

Par suite:

Lorsque m tends vers l'infini, les seuls termes qui ne tendent pas vers zéro sont, d'une part, ln(m) et d'autre part les termes avec j=0 dans la somme double. (On montre que la décroissance de e^-m est prépondérante par rapport aux autres facteurs pour m croissant infiniment). Il reste alors :

Donc:

Réponse de Jeanlis  du 16/06/01 à 19h 32 :

Jean Jacquelin donne des réponses exactes il s'agit bien de la constante d'Euler C pour la première et de la même constante au carré plus pi au carré divisé par 6 pour la seconde intégrale numérique. Il existe une démonstration simple par la fonction Gamma d'Euler.
Le logarithme népérien de Gamma (1 + x)   se développe facilement en monômes:

ln Gamma (1 + x ) = - Cx + Z₂.x²/2 - Z₃.x³/3 + Z₄.x⁴/4 - Z₅.x⁵/5 + etc.

Z_n est la valeur de Tzéta la fonction de Riemann pour les valeurs entières de la variable. On sait que Z₂ est égale à pi² /6. Pour obtenir un développement limité de Gamma (1 + x) au voisinage de X = 1 il suffit de passer aux exponentielles. On obtient:
Gamma (1 + x) = 1 - Cx + x². (Z₂ + C²) / 2 + etc.
cela signifie d'après Mac Laurin que le nombre "dérivée" de Gamma pour x = 1 est égal à - C et aussi que le nombre "dérivée seconde" de Gamma pour x = 1 est égal à Z₂ + C²
Or on connaît depuis Euler une expression intégrale de Gamma (1 + x ), il s'agit de l'intégrale de e^-t.t^x calculée de 0 à l'infini, t étant la variable d'intégration. On peut dériver sous le signe intégrale d'après Euler, une fois et une deuxième fois et calculer les valeurs de ces dérivées au point x = 1 et donc on obtient: l'intégrale de e^-t. ln t calculée de 0 à l'infini est égale à -C l'intégrale de e^-t. ln^2 de t calculée de 0 à l'infini est égale à C² + pi² /6. En effet la dérivée par rapport à x de t^x est t^x lnt et la dérivée seconde de t^x est t^x ln² de x
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