Bonjour à tous !!! Je n'arrive pas à résoudre une énigme que je dois rendre POUR LE 13/12/00 (urgent !) Prenons un nombre de trois chiffres distincts, par exemple 748, et écrivons les deux nombres obtenus en rangeant ses chiffres par ordre décroissant : 874 et par ordre croissant : 478. Effectuons la différence : 874 - 478 = 396. Recommençons la même opération avec 396 : 963 - 369 = 594. Inutile de poursuivre : à l'évidence on retrouve 495. Est-ce que quelque soit le nombre de trois chiffres distincts choisi au départ, l'algorithme que nous venons de décrire conduit immanquablement à 495 ? Prenons un nombre de trois chiffres distincts, par exemple 748, et écrivons les deux nombres obtenus en rangeant ses chiffres par ordre décroissant : 874 et par ordre croissant : 478. Effectuons la différence : 874 - 478 = 396. Recommençons la même opération avec 396 : 963 - 369 = 594. Inutile de poursuivre : à l'évidence on retrouve 495. Est-ce que quelque soit le nombre de trois chiffres distincts choisi au départ, l'algorithme que nous venons de décrire conduit immanquablement à 495 ?

Anthony.

Bonjour, et merci de nous faire confiance: Nous allons vous donner un coup de pouce: Soit un nombre à trois chiffres dans l'ordre décroissant abc donc dans l'ordre croissant cba, alors abc - cba= 100a-10b-c -(100c +10b +a) = 99(a-c). Les chiffres a et c étant distincts abc - cba n'est jamais nul et il suffit de considérer tous les cas possibles: a - c = 1 est impossible puisque a, b et c sont distincts. Si abc - cba = 2 alors abc-cba = 198 et 981-189 = 792, 972 - 279 = 693, soit abc=963 correspondant à votre exemple. A vous de considérer les cas restant jusqu'à a-c = 8. C'est fastidieux mais au moins vous balayez toutes les possibilités. A bientôt, maguement vôtre, Alain Larroche.

Réponse 2.

Bonjour! Je viens de recevoir votre message. J'avais trouver votre réponse mais je pensais en fait qu'il y avait une méthode plus courte que de passer en revue toutes les possibilités. Merci. Et bravo pour votre site!!!!!!
Réponse 3.

Bonjour.

Alain Larroche a déjà montré que N=abc Þ N’=99(a-c), donc N’=99k, 2 £ k £ 8.

Soit M=xyz=99k, 2£ k£ 9 (*). On a, par hypothèse, (99+1)x+10y+z=99x+x+10y+z=99k, d’où l’on déduit x+10y+z=99t, t ³ 1. Mais y<9Þ x+10y+z<99·1 et y=9Þ x+10y+z<99·2, d’où découle: t=1, y=9, x+z=9. Comme 9 est impair et x, z ¹ 0 ( x=0 Þ K=1, z=0 Þ K=10), les trois chiffres x,y,z sont distincts. Donc on peut mettre le nombre M sous la forme:

M=100x+10·9+9-x=99(x+1), 1£ x£ 8.

M’=100·9+10x+9-x-[100(9-x)+10x+9]=99x.

• x=5 Þ M’=495.
• Si x>5 en raisonnant de même sur M’, M’’, …, on a la suite finie: 99x, 99(x-1), …, 99·5=495.

2. x<9-x, c’est-à-dire 1£ x£ 4;

A bientôt. Cordialement, Vanni Gorni.

Envoyer votre réponse.