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Question de Jean-François Tabardin du 14/06/01 à 11h 02 :

soit les fonctions x², xⁿ, e^x, sin x.
Quelle est la fonction qui donne la "longueur" (elle est négative si x<0) de la courbe représentative de 0 à x ?
Et pour 1/x, ln x, de 1 à x?

Réponse de J-P Houbard du 15/06/01 à 19h 15 :

Long à écrire surtout sans l'aide d'un soft approprié pour l'écriture des
math. Je vais donc ne résoudre qu'une partie de la question.
La longueur de la courbe représentative d'une fonction y = f(x) depuis x = a
jusque x = b est donnée par :
L = Intégrale depuis a jusque b de [ (1 + (dy/dx)²)^1/2].dx
Calcul pour y = e^x. dy/dx = e^x.

[ (1 + (dy/dx)²)^1/2] = [ (1 + e^2x)^1/2].

Posons 1 + e^2x = t² -> e^2x = t²-1 et e^2x.dx = t.dt
On a donc : [ (1 + (dy/dx)²)^1/2].dx = t².dt/(t²-1).

Et comme t².dt/(t²-1) = (1 + 1/t²-1)).dt
On a immédiatement en intégrant :
Int = t - (1/2).ln | (1+t)/(1-t)| + C.
Int = (1 + e^2x)^1/2 - (1/2). ln | (1+(1 + e^2x)^1/2)/(1-(1 + e^2x)^1/2)| + C.

Les limites d'intégration étant 0 et x, il vient :
L = (1 + e^2x)^1/2 - (1/2). ln | (1+(1 + e^2x)^1/2)/(1-(1 + e^2x)^1/2)| - (2)^1/2 + (1/2).ln|(1+2^1/2)/ (1-2^1/2)|.

Calcul pour y = ln(x).
dy/dx = 1/x.
[ (1 + (dy/dx)²)^1/2] = [ (1 + 1/x²)^1/2] = [ (x² + 1)^1/2]/x.

Poser x²+1 = t² -> x² = t²-1 et x.dx = t.dt.
On a donc : [ (1 + (dy/dx)²)^1/2].dx = t².dt/(t²-1).
Qui est identique à celle trouvée dans le cas précédent -> on a donc :
Int = t - (1/2).ln | (1+t)/(1-t)| + C.
Int = (x²+1)^1/2 - (1/2).ln | (1+(x²+1)^1/2)/(1-(x²+1)^1/2)| + C.
Les limites d'intégration étant 1 et x, il vient :
L = (x²+1)^1/2 - (1/2).ln | (1+(x²+1)^1/2)/(1-(x²+1)^1/2)| - 2^1/2 +
(1/2). ln | (1+2^1/2)/ (1-2^1/2)|.

Les calculs pour les autres fonctions suivent le même principe, la
difficulté pour chaque cas est d'arriver à trouver la primitive qui
convient, pour autant que ce soit possible.

Réponse de Jean jacquelin du 16/06/01 à 20h 54 :

Calcul de la longueur d'une courbe définie par y = f(x) entre le point (x₁,y₁) et (x₂,y₂) :La distance (ds) entre le point (x,y) et le point voisin (x+dx , y+dy) est donnée par ds² = dx²+dy².

Donc ds = (dx² + dy²)^1/2= [(1+(dy/dx)²)^1/2]dx.

ds = [(1+(f ' )²)^1/2]dx avec f ' = d(f(x))/dx = dérivée de f(x).

On trouvera la longueur entre les deux points en intégrant du premier au second :

= Somme de [(1+(f ' )²)^1/2]dx pour x = x1 à x = x2.

Exemple, (x²) entre 0 et x : f '=2x donc

Somme [(1+(2x)²)^1/2]dx=(1/2).ln(2x+(1+4.x²)^1/2)

La plupart du temps, ce genre d'intégration n'est pas simple et le résultat s'exprime sous la forme de fonctions spéciales ou de développements en série.

Dans certains cas, on peut se ramener à des fonctions mieux connues, par exemple, dans le cas de f(x)=ln(x), f '(x)=1/x, Somme de 1 à x de [(1+1/x²)^1/2]dx = ln(x) - ln[1+ (1+1/x²)^1/2]+ (x²+1)^1/2 + ln(1+2^1/2) - 2^1/2

Réponse de J-P Houbard du 18/06/01 à 19h 22 :

Complément de réponse (essai d’écriture d’équation).

cas y = x².

= 2x.