Posons y=-x/2

(1+e^-i(x/2)) ( e^-i(x/2))=(1+e^iy) ( e^iy)

(1+e^-i(x/2)) ( e^-i(x/2))=(1+cos(y)+i.sin(y))(e^iy)

Sachant que cos(y)+1=2cos²(y/2) et que sin(y)=2sin(y/2)cos(y/2)

(1+e^-i(x/2)) ( e^-i(x/2))=2cos(y/2)[ cos(y/2)+i.sin(y/2)]( e^iy)

(1+e^-i(x/2)) ( e^-i(x/2))=2cos(y/2)[ e^i(y/2)]( e^iy)=2cos(y/2)( e^i(3y/2))

Résultat : (1+e^-i(x/2)) ( e^-i(x/2))=2cos(-x/4)( e^-i(3x/4))

Ce nombre complexe a pour module 2cos(-x/4) et pour argument -3x/4

Comme il est égal à (1+e^iy)(e^iy) et que son argument est égal à 3y/2, l'argument de (1+e^iy) vaut 3y/2-y=y/2 . On peut remplacer y par n'importe quelle lettre, donc l'argument de (1+e^ix) est x/2.

Démonstration plus concise : (1+e^ix)=1+cos(x)+i.sin(x)

Sachant que cos(x)+1=2cos²(x/2) et que sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2)

(1+e^ix)=2cos(x/2)[cos(x/2)+i.sin(x/2)]

Ce nombre complexe a pour module 2cos(x/2) et pour argument (x/2)