Nous désignons par S(N) la somme des diviseurs de N, y compris 1 et N.

Si N=p nombre premier, S(p)=p+1

Si N=P nombre parfait, S(P)=2P car la somme des diviseurs d'un nombre parfait, y compris 1 mais non compris P, est égale à P.

Pour "se mettre dans le bain", rappelons la démonstration d'Euclide :

Soit un nombre N de la forme N=2ⁿM avec M=(2ⁿ⁺¹-1) premier

S(M)=M+1=(2ⁿ⁺¹-1)+1=2ⁿ⁺¹

S(2ⁿ)=1+2¹+2²+ . . . +2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1

S(N)=S(2ⁿ)S(M)=(2ⁿ⁺¹-1)2ⁿ⁺¹

et comme N=2ⁿ(2ⁿ⁺¹-1) on a donc S(N)=2N

La somme des diviseurs de N (non compris N) est égale à S(N)-N=N

Donc N=P, nombre parfait.

La réciproque, dans le cas des nombres parfaits pairs, a été démontrée par Euler dans une note posthume. Je n'ai pas cette démonstration sous la main. De mémoire, la démarche serait la suivante (mais attention, c'est à vérifier. Ce qui suit pourrait être incomplet voire même erroné)

Soit P un nombre parfait pair. On peut donc le mettre sous la forme P=2ⁿm avec n>0 et m impair.

S(2ⁿ)=2ⁿ⁺¹-1

S(P)=S(2ⁿ)S(m)=(2ⁿ⁺¹-1)S(m)

Puisque P est parfait, S(P)=2P donc

2P=(2ⁿ⁺¹-1)S(m)

Par conséquent P est divisible par (2ⁿ⁺¹-1). On peut donc écrire P sous la forme

P=2ⁿ(2ⁿ⁺¹-1)K avec K impair. Donc m=(2ⁿ⁺¹-1)K

Donc m est divisible au moins par m et par K.

Si K est différent de 1, S(m)>m+K donc S(m)>2ⁿ⁺¹K

Par ailleurs, on a :

2P=(2ⁿ⁺¹-1)S(m) et P=2ⁿm donc

2ⁿ⁺¹m=(2ⁿ⁺¹-1)S(m)

2ⁿ⁺¹(2ⁿ⁺¹-1)K=(2ⁿ⁺¹-1)S(m)

2ⁿ⁺¹K=S(m)

Ceci est contraire à S(m)>2ⁿ⁺¹K si K différent de 1. Donc K=1.

Donc m=(2ⁿ⁺¹-1) et P=2ⁿ(2ⁿ⁺¹-1)

Si (2ⁿ⁺¹-1) n'est pas premier S(2ⁿ⁺¹-1)>2ⁿ⁺¹

S(P)=S(2ⁿ) S(2ⁿ⁺¹-1)>(2ⁿ⁺¹-1)2ⁿ⁺¹

Donc S(P)>2P ce qui est contraire au fait que P est parfait.

Donc (2ⁿ⁺¹-1) est premier.

Conclusion : si P un nombre parfait pair alors il et de la forme

P=2ⁿM avec M=(2ⁿ⁺¹-1) premier

Réponse de Gérard Prigent du 27/09/01 à 21h 15 : Voir le "Que sais-je ?" n° 1093 (PUF éditeur) par Jean ITARD : Arithmétique et théorie des nombres pages 33-34.

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