Comment trouver les nombres entiers de quatre chiffres maximum égaux à la somme des cubes de leurs chiffres ??? Avez vous une idée ???

1) S=0 => (0,0,0)

2) S=1 => (0,0,1)

3) S=2 => (0,1,1)

4) S=3 => (1,1,1)

5) S=6 => (2,2,2)

6) S=7 => (0,2,5)(2,2,3)

7) S=8 => (0,0,8)(1,2,5)(2,3,3)

8) S=9 => (0,0,9)(0,1,8)(0,2,7)(0,3,6)(1,2,6)(0,4,5)(1,3,5)

9) S=10 => (0,4,6)(3,3,4)(0,1,9)(1,3,6)(1,1,8)(1,4,5)(2,4,4)

10) S=11 => (0,4,7)(1,3,7)(1,4,6)(3,4,4)(1,1,9)

11) S=12 => (1,4,7)(4,4,4)

12) S=15 => (2,5,7)(5,5,5)

13) S=16 => (0,8,8)(3,5,8)(2,6,8)(5,5,6)(2,5,9)

14) S=17 => (0,8,9)(3,6,8)(5,6,6)(3,5,9)(2,6,9)(1,8,8)(4,5,8)(5,5,7)(2,7,8)

15) S=18 => (0,9,9)(3,6,9)(6,6,6)(3,7,8)(4,6,8)(1,8,9)(5,6,7)(4,5,9)(2,7,9)

16) S=19 => (3,7,9)(6,6,7)(4,6,9)(1,9,9)(4,7,8)(5,7,7)

17) S=20 => (6,7,7)(4,7,9)

18) S=21 => (7,7,7)

19) S=24 => (8,8,8)

20) S=25 => (8,8,9)

21) S=26 => (8,9,9)

22) S=27 => (9,9,9)

il ne reste plus qu'à tester ces 68 cas ... pour trouver les 5 solutions < 1000 : 0,1,153,371,407.
recherche des solutions N>=1000 ( a=1)
notons S la somme des chiffres b+c+d ; comme 1=1^3, S=b^3+c^3+d^3 comme précédemment.
les valeurs possibles pour b,c,d sont donc les mêmes ... ouf ! on teste à nouveau les 68 cas pour ne pas trouver d'autres solutions
il y a donc 5 solutions : 0;1;153;371 et 407.

Réponse de J-P Houbard du 27/04/01 à 12h 53 :
Soit « dcba » la forme des nombres à chercher.
a) Si les solutions n'ont qu'un chiffre.
On peut écrire : a³ = a -> Solutions : 0 et 1.
b) Si les solutions ont 2 chiffres.
On peut écrire : a³ +b³ = a + 10b. (avec b<>0 sinon on est dans le cas
précédent ).
a³ - a = 10b - b³.
On peut imposer « b »  depuis 1 jusque 9 et constater qu'il n'existe pas de
valeur entière positive comprise entre 0 et 9 qui correspond pour « a » ->
pas de solution.
Remarque : Si quelqu'un devait réaliser cet exercice, il aurait intérêt à
calculer «a³-a» pour a = 1 à 9 et à noter les valeurs trouvées, cela lui
permettrait en consultant cette liste d'éviter beaucoup de calculs par la
suite.
c) Si les solutions ont 3 chiffres. ( c<>0 sinon on est dans le cas
précédent).
On peut écrire a³ + b³ + c³ = a +10b + 100c.
Il faut ici introduire quelques astuces qui permettent de diminuer le nombre
de possibilités qu'il faudra essayer.
On a (10b + 100c) forcément pair, donc la parité du membre de droite ne
dépend que de « a ». Si « a » est pair -> (b³ + c³ ) est pair et que donc «
b » et « c » ont tous deux la même parité (soit tous les deux pairs, soit
tous les deux impairs). En recommençant un raisonnement similaire en partant
de « a » impair, on arrive de nouveau à la conclusion que « b » et « c » ont
tous deux la même parité.

Essais1 :
On commence avec « c=1 » -> (b = 1, 3, 5, 7 ou 9).
a³ + b³ = a + 10b +99.
a³ - a = 99 + 10b - b³.
a³ - a > 0 -> -b³ + 10b + 99>0 -> b(max) = 5.
Il reste donc à essayer b=1, 3 et 5.
b = 1 -> a³ - a = 108 -> aller voir que 108 n'est pas dans la liste
préétablie(voir avant) des valeurs permises pour (a³ - a).  -> pas de
solution.
b = 3 -> a³ - a = 102 ->idem, pas de solution.
b = 5 -> a²
a³ - a = 24 -> a=3 -> Solution : 153.
Essais2 :
Avec « c=3 » -> (b = 1, 3, 5, 7 ou 9).
a³ + b³ = a + 10b +273.
a³ - a = 273 + 10b - b³.
a³ - a > 0 -> -b³ + 10b + 273>0 -> b(max) = 7.
b = 7 annule a³ - a -> a=0 et a=1 ->Solutions : 370 et 371.
Il reste donc à essayer b=1, 3 et 5.
b = 1 -> a³ - a = 282 -> aller voir que 108 n'est pas dans la liste
préétablie(voir avant) des valeurs permises pour (a³ - a).  -> pas de
solution.
b = 3 -> a³ - a = 276 ->idem, pas de solution.
b = 5 -> a²
a³ - a = 24 -> a=198 -> idem, pas de solution.
De manière analogue aux essais 1 ou 2 ci-dessus, on essaie avec c=5,7 et 9.
Ceux-ci n'amènent pas de solutions.
On continue pour les valeurs paires de « c » : c= 2, 6 et 8 n'amènent pas de
solutions, je décris donc seulement le cas c = 4.
Essai 3 :
Avec c=4. -> b pair (0, 2, 4, 6, 8).
a³ + b³ = a + 10b - 336.
a³ - a = 336 + 10b - b³.
a³ - a>0 -> b(max) = 6
-> essayer avec b=0, 2 , 4 et 6.
b = 0 -> a³ - a = 336 -> a = 7-> Solution : 407.
b = 2 -> a³ - a = 348 -> pas de solution.
b = 4 -> a³ - a = 312 -> pas de solution.
b = 6 -> a³ - a = 180 -> pas de solution.

d) Si les solutions ont 4 chiffres. ( d<>0 sinon on est dans le cas
précédent).
On peut écrire a³ + b³ + c³  + d³ = a +10b + 100c + 1000d.
Le membre de gauche vaut au maximum : 4 * (9^3) = 2916, donc « d » vaut au
maximum 2. Si « d » vaut 2, le membre de droite est pair et donc dans le
membre de gauche, on doit avoir (a³ + b³ + c³) pair ; si 2 des trois lettres
a, b et c valent 9, la troisième doit être paire -> le nombre le plus grand
est trouvé avec b=c=9 et a=8.
Alors le membre de gauche vaut  2³ + 9³ +9³ + 8³ = 1978.
D'où on conclut que la seule valeur admissible pour « d » est 1.
On a donc : a³ + b³ + c³  + 1³ = a +10b + 100c + 1000.
a³ + b³ + c³  = a +10b + 100c + 999.
Cette équation ne contient plus que 3 variables et sera traitée de manière
analogue au cas où les solutions avaient 3 chiffres. (Attention pour celui
qui essaie que le raisonnement sur les parités est modifié par la présence
du 999).
Ces cas n'amènent aucune solutions et ne sont donc pas détaillés ici.

Regroupement des différentes solutions trouvées :
0, 1, 153, 370, 371, 407.

J-P Houbard.

• Envoyer votre réponse.