 Réponse de Jean Jacquelin
du 20/12/01 à 20h 23 :La question n'est pas
clairement posée puisqu'on peut la lire de plusieurs façons différentes :
" un lot de 25 patates de masse 5kg ", donc :
1 - Soit il s'agit d'un lot de patates de 5 kg chacune (ce qui serait quand
même rare, selon les patates que tout un chacun connaît).
2 - Soit il s'agit d'un lot de 5 kg au total
Ensuite, " deux lots de patates de même masse ",
donc :
A - Soit il s'agit de patates idéales, toutes même masse au milligramme près
(ce qui serait plutôt exceptionnel), et de deux lots peuvent être de masses
différentes.
B - Soit il s'agit de deux lots de même masse constitués de patates de masses
différentes en général, ce qui est normal pour les patates que tout un chacun connaît.
La combinaison de ces hypothèses fait qu'il y a 4 cas possibles A1, A2, B1, B2.
Le sens commun voudrait que l'on ne considère que le cas B2, pour rester avec le genre
de patates que tout un chacun connaît, mais le Mathématicien qui pose un tel problème
n'est peut être pas tout un chacun. Et on nous apprend à ne rejeter à priori aucune
hypothèse.
Nous voici contraint à étudier les 4 cas, par la faute d'un usage imprécis de la
langue française dans la façon de poser une question.
Cas A1 :
Le lot initial comporte 25 patates de 5 kg chacune. Il n'y a aucune difficulté à
partager ce lot en deux lots de masses différentes et il y a 12 façons différentes de
le faire.
Cas A2 :
La masse totale est 5 kg pour 25 patates identiques, dont toutes de 0,2 kg. Il n'y a
aucune difficulté à partager ce lot en deux lots de masses différentes et il y a 12
façons différentes de le faire.
Cas B1 :
Il y a contradiction formelle entre la spécification 1 : "5kg chaque patate"
et la spécification B : "patates de masses différentes en général", sauf si,
justement on n'est pas dans le cas général et si, à nouveau, toutes les patates sont
identiques. Mais il faudrait alors les partager en deux lots de 12,5kg chacun, ce qui est
impossible sans couper une patate en deux. Conclusion : il n'est pas possible de
satisfaire aux conditions de l'énoncé du problème dans ce cas.
Cas B2 :
On a un lot de 25 kg constitué de 25 patates de masses quelconques à séparer en deux
lots de 12,5 kg chacun et comprenant chacun au moins une patate. Est-ce toujours possible
de faire ce partage ?
Exemple : Il y a une patate de 13 kg et 24 patates de 0,5kg, ce qui fait bien le
compte. Il sera impossible d'avoir un lot de 12,5kg puisque la patate de 13 kg est
forcément dans l'un des deux lots. Conclusion : le partage n'est pas toujours possible.
Autre exemple, (avec aucune patate de masse supérieure à 12,5 kg) : si on a 3 patates
de 6,5kg et 22 patates de 0,25kg, il sera impossible d'avoir un lot de 12,5kg puisque 2
patates de 6,5kg=13 kg seront forcément dans l'un des deux lots.
Conclusion : le partage n'est pas toujours possible.
Bien entendu, le partage est souvent possible, mais la réponse est : "pas
toujours".
Précision de Laurent du 21/12/01 à 16h 23 :
Ce sont les 25 patates qui font 5kg ensemble. Cas A2 : si chaque patate a la même
masse alors il suffit de prendre deux lots d'une patate chacun et chaque lot a la même
masse. Il n'y a par ailleurs aucune raison pour que chaque lot pèse 12,5 kg, puisque
chaque lot peut être composé de 1 à 24 patates et avoir des masses très variables, la
seule contrainte étant que chaque lot ait la même masse. Soit on trouve un
contre-exemple d'un lot de 25 patates de masse totale 5 kg dont on ne puisse pas extraire
deux lots de même masse, soit on prouve qu'il est toujours possible d'extraire d'un lot
de 25 patates de masse totale 5 kg deux lots de même masse.
Réponse-question d'Alain Larroche du 01/01/2002 à 14h :
Je ramène le problème à 5 patates dont la masse totale est 1 kg. Alors si j'appelle
a, b, c, d et e les masses de ces 5 patates, je choisis par exemple a = 200 g, b = 190 g,
c = 201 g, d = 203 g et e = 206 g. On ne peut de ce lot de 5 patates extraire aucun lot de
pates de masse égale. Pourrait-on généraliser à n patates et p kg avec n et p entier ?
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