Bonjour Mr Alain Larroche, Mr Houbard, Mr Vanni Gorni,
ainsi qu'à tous les amis du forum. Énoncé du problème : soit un cube de coté (a) et de volume (v), à partir duquel on veut construire un deuxième cube de coté (A) et de volume (V).
Question :
- Connaissant la longueur (a) du 1er cube, construire le côté (A) du 2ème cube à la règle et au compas.
Voici la solution : Par hypothèse on a : V=2v ; c'est à dire: A^3=2a^3
d'où : A= a.(2)^1/3 autrement dit: A^3=2(a)^3 = a x a x 2a.
Soit un parallelipipède composé de :
- 4 façades rectangulaires égales entre elles et de dimension : a x 2a
- 2 façades carrées égales entre elles de dimension : a x a

1-1) Transformation (T1) : transformons la façade rectangulaire de dimension : a
x 2a en une façade carrée de dimension : Y1 x Y1
1-2) Calcul de Y1 ( géométriquement) :
soit un demi cercle de centre O et de diamètre D = a + 2a = 3a
soit un triangle ABC inscrit dans le demi cercle tel que BC= D = 3a
donc ce triangle est rectangle en A soit un point F appartenant à BC (diamètre), tel que : FB/FC= a/2a = 1/2. Traçons la hauteur AF du triangle ABC et posons AF=Y1 on aura : (AF)^2= FB x FC; (Y1)^2= a x 2a , d'où on déduit: Y1= a (2)^1/2 Y1 est ainsi déterminé géometriquement.
1-3) Résultat (R1):
On a obtenu un nouveau parallélipipède de nouvelle dimension, composé :
- de 4 façades carrées ( nouvelles) égales entre elles de dimension: Y1 x Y1
tel que: Y1= a (2)^1/2
1-4) Tracé du nouveau parallelipipède  de dimension :
Y0 x Y1 x Y1 ,
tel que: Y0 = a et Y1= a (2)^1/2
2-1) Transformation (T2):
Transformons la façade rectangulaire de dimension: Y0
x Y1, tel que : Y0 = a et Y1= a (2)^1/2
2-2) Calcul de Y2 (géometriquement):
soit un demi cercle de centre O et de diamètre D = a + a (2)^1/2
soit un triangle ABC inscrit dans ce demi cercle tel que BC = D = a + a (2)^1/2
donc ce triangle est rectangle en A .
Soit le point F appartenant à BC (diamètre) tel que :
FB/FC= a/a(2)^1/2 = 1/(2)^1/2 = (2)^1/2 / 2
Traçons la hauteur AF du triangle ABC, de diamètre :
D= a ( 1+ 2^1/2)
tel que: AF = Y2 , on aura : (AF)^2 = FB x FC
(relation metrique)
(Y2)^2 = a x (a . 2^1/2)
D'où on déduit: Y2 = a x 2^1/4

2-3) Resultat (R2) :
On a obtenu un deuxième nouveau parallelipipède de
dimension (nouvelle) composé de :
- 4 façades carrées (nouvelles) égales entre elles de
dimension nouvelle: Y2 x Y2
tel que : Y2 = a x 2^1/4
- 2 façades rectangulaires nouvelles égales entre
elles de dimension nouvelle :
Y1xY2 , tel que Y1= a (2^1/2) et Y2= a x 2^1/4

2-4) Tracé du nouveau parallelipipède  de dimension :
Y1 x Y2 x Y2 ,
tel que: Y1 =a (2^1/2) et Y2 = a x 2^1/4

Les étapes suivantes sont déterminées succéssivement
de la même manière.

Recapitulons:
1) Le premier parallelipipède transformé a pour
dimension: Y0xY1xY1
2) Le deuxième parallelipipède transformé a pour
dimension: Y1xY2xY2
3) Le troisième parallelipipède transformé a pour
dimension: Y2xY3xY3
4) Le quatrième parallelipipède transformé a pour
dimension: Y3xY4xY4
.........................................................................................
n+1) Le(n+1)ème parallelipipède transformé a pour
dimension: Yn xYn+1xYn+1

CONCLUSION :

A^3 = (Yn+1)^3 ~ Yn xYn+1xYn+1 = 2 (Y0)^3 = 2 (a)^3

Plus le nombre de transformation du parallelipipède augmente,plus la forme du parallelipipède s'approche du cube de volume V=2a^3
                            Merci
                         Djelloul Sebaa

N.B: pour argumenter et enrichir cette démonstration, je voudrai bien trouver une aide du forum; c'est une personne qui peut traduire cette solution par des
schémas, si bien sûr ceci est possible.

Cette méthode par approximations successives, proposée par Monsieur Djelloul Sebaa que je salue à cette occasion, paraît bien compliquée.
Je voudrais signaler une méthode graphique connue, beaucoup plus simple (voir figure) :

- Tracer une droite D1 portant les points A, O, B tels que AO=OB=a:

- Tracer un demi cercle de centre O de rayon=a (donc de diamètre AB=2a).

- Avec le compas, tracer sur ce cercle le point C tel que AC=a et le point D tel que BD=a.

- Construire au compas la droite D2 bissectrice de AOC.

- Sur la règle, marquer deux graduations E et F distantes de (a).

- En faisant passer la règle par le point D, la faire glisser de façon que E soit sur D1 et F sur D2.

- Lorsque cela est fait, on a trouvé la longueur DF=a.2^(1/3).

Vous pouvez vous amuser à le démontrer : ce n'est pas très compliqué !

Conclusion : étant donné un cube de coté (a) donné (de volume a^3), on a obtenu la longueur DF=a.2^(1/3) qui est la longueur des cotés du cube de volume 2a^3 (donc c'est une solution graphique au problème de la duplication du cube).
Remarque : Cette construction ne satisfait pas à la stricte définition de "construction à la règle et au compas" qui spécifie que l'on ne doit pas porter de marque sur la règle. Au sens des grecs anciens, c'est une construction "biaisée" ou "détournée" (neusis). Ceci est très bien expliqué dans : The Book of Numbers, J.H.Conway, R.K.Guy, Springer-Verlag, p.195.

En fait, dans cette construction remarquablement simple, on effectue manuellement des approximations successives en faisant glisser les 2 marques tracées sur la règle jusqu'à ce quelles soient sur les droites respectives. Il faut reconnaître que c'est bien plus élégant que les nombreuses autres méthodes graphiques où les approximations sont obtenues grâce à des tracés successifs.

L'existence de cette méthode graphique n'est donc absolument pas en contradiction avec la démonstration de l'impossibilité de la "duplication du cube à la règle et au compas" selon le sens donné à cette expression par les grecs anciens.

FIGURE :

  Réponse de Djelloul Sebaa du 31/08/01 à 01h 10 :
bonjour monsieurs Jean Jacquelin,Alain Larroche et les amis du forum je vous remercie pour votre réponse cependant je voudrais rectifier quelques érreures qui se trouvaient dans le texte intitulé "la duplication du cube". le nombre de façades rectangulaires est égale a 4 et non 2.
Le nombre de facades carrées est 2 et non 4. Dans toutes les étapes de transformations de
parallélipipédes . Vérification : la 23^ème transformation du parallélipipéde qui a pour dimension Y23x Y22 x Y22. la différence D= Y23-Y22=0,0000001x a . On remarque que Y22 =Y23(approximative). Que pensez vous de ce résultat? Que pensez vous si on continue la transformation au-delà de la 23^ème transformation?
                                 MERCI,SEBAA DJELLOUL

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