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 Question :
- Je n'ai pas trouvé comment poser une
question dans ton forum alors je te la pose et si tu veux bien tu transmettras. Merci de
démontrer (si c'est vrai !) que l'inverse d'un nombre entier supérieur à 1, impair et
non divisible par 5 a sa période qui commence dès le premier chiffre après la virgule.
En effet : 1/3 = 0,33333..3..,1/7=0,142857.....142857...1/21=0,047619....047619...mais
1/12=0,0833333... 1/15=0,066666...6 etc Merci et bonne recherche.Didier.
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Réponse :
- Dire que l'inverse d'un nombre entier
supérieur à 1, impair et non divisible par 5, a sa période qui commence dès le premier
chiffre après la virgule revient à dire qu’il existe p entier naturel tel que10p.x
- x = la période si x = 1/(n+1). Par exemple, si x = 1/3, 10x - x = 3, si x = 1/7, 106x
- x = 142857 etc... Je vais d'abord démontrer que si 2n + 1 est divisible par 5, alors la
période ne peut pas commencer dès le premier chiffre aprés la virgule. En effet, si
c'était le cas, il existerait un entier p supérieur à 1 tel que pour x = 1/(2n+1) nous
aurions 10px - x =k, entier. C'est-à-dire: 10p - 1 = k(2n+1), ce
qui signifierait que 10p - 1 serait divisible par 5, ce qui est impossible!
Maintenant, dans le cas où 2n+1 n'est pas divisible par 5, il existerait p et k entiers
tels que: 10p - 1=k(2n+1).(E) Cela revient à démontrer que pour tout
nombre impair 2n+1, différent de 1 et non divisible par 5, il existe un entier p tel que
2n+1 divise 10p - 1.Mais d'après le petit théorème de Fermat, nous savons
que si a et n sont deux entiers premiers entre eux alors n divise an-1 - 1.
Mais ici, 2n+1 étant impair et non divisible par 5 est premier avec 10 et donc 2n+1
divise 102n - 1, ce qui permet de conclure avec dans ce cas
p = 2n. Alain Larroche.
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Période
