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 Question de Guy Philippe du
13/05/01 à 11h 28 :
Amical salut à tous les matheux,
Voici une question qui admet une réponse simple (si on s'y prend bien ou si
on connaît )
Il s'agit d'étudier le polynôme P=(X-a1)(X-a2)....(X-an)+1 où a1;a2....an
sont des entiers relatifs distincts.
P est-il premier sur Z?
Ensuite idem en mettant -1 à la place de +1.
Il n'est pas interdit de recourir éventuellement à l'analyse.
A bientôt |
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Réponse de
Pierre Renfer du 14/05/01 à 11h 38 :
Bonjour,
Si P est décomposable sur Z, il peut s'écrire P=QR, où Q et R sont unitaires, à
coefficients entiers, tels que : pour tout indice i , Q(ai)=R(ai)=1 ou -1 .
1) Premier cas : si P est de degré impair n=2m+1
Alors l'un des facteurs, Q par exemple, est de degré inférieur ou égal à m et l'une
des deux valeurs 1 ou -1, 1 par exemple, est prise en au moins (m+1) points parmi les ai .
Mais alors Q est le polynôme constant 1 et P est irréductible sur Z .
2) Deuxième cas : si P est de degré pair n=2m
Alors l'un des facteurs, Q par exemple, est de degré q inférieur ou égal à m et l'une
des deux valeurs 1 ou -1, 1 par exemple, est prise en k points parmi les ai , avec k
supérieur ou égal n.
Si q est strictement inférieur à m ou si k est strictement supérieur à m, alors Q est
le polynôme constant 1.
Il reste donc à étudier le cas où q=k=m.
Quitte à renuméroter les ai , on peut supposer que P et Q prennent la valeur 1 en les m
premiers points a1,...,am et la valeur -1 en les derniers.
Un polynôme unitaire de degré m étant parfaitement déterminé par les images de m
points, on a : Q(X)=R(X)=(X-a1)(X-a2)...(X-am)+1
Donc : P(X)=Q(X)²
Le produit (X-a1)...(X-am) doit prendre la valeur -2 si l'on remplace X par l'une des m
dernières valeurs ai .
Ceci est impossible si m est strictement supérieur à 3, car -2 se décompose au plus en
trois facteurs entiers distincts .
Pour m=3, c'est impossible aussi : il n'est pas possible de trouver trois entiers à
distances 1 de deux entiers et à distance 2 d'un troisième.
Pour m=2, c'est possible, mais il faut nécessairement que a1 et a2 soient distants de 3
et que a3 et a4 soient les deux points entre a1 et a4.
Pour m=1, c'est possible, mais il faut nécessairement que a2-a1=-2
En résumé, le polynôme P est en général irréductible sur Z, sauf les polynômes de
degré 4, avec quatre valeurs consécutives et les polynômes du second degré avec deux
valeurs distantes de 2
Réponse de Guy Philippe du
14/05/01 à 22h 31 :
Bonjour et bravo à Pierre Renfer qui a bien "ficelé" la première question .A
la reflexion elle n'était pas si simple!
Juste une petite variante pour le cas où le degré de P est impair.
On raisonne par l'absurde. Si P non premier il pourrait s'écrire P=QR avec
n-1>= deg(Q) et deg(R)>=1 d'où on aurait Q-P=0(sinon Q-P étant non nul il
admettrait un degré et celui-ci serait inférieur à n alors que Q-P s'annulerait pour
les n valeurs ai d'où une contradiction.)
Dès lors on aurait bien Q=P et P=Q^2 mais alors deg(P) serait pair ce qui contredirait
l'hypothèse.
Finalement si deg(P) est impair P est premier sur Z.
A bientôt.
Réponse de Pierre Renfer du
15/05/01 à 9h 05 :
Bonjour,
Le cas du polynôme P(X)=(X-a1)...(X-an)-1 se traite de façon analoque.
Si P n'est pas premier, il se décompose en P=QR, où Q et R sont uniraires, avec:
pout tout indice i, Q(ai)=-R(ai)= 1 ou -1 .
On élimine à nouveau tous les cas sauf le cas où n=2m est pair et où Q, de degré m,
prend la valeur 1 aux m premiers points a1,...,am et la valeur -1 aux m derniers.
Alors : Q(X)=(C1 et R(X)=(X-a1)...(X-am)-1
Et : P(X)=(X-a1)²...(X-am)²-1
Mais alors si l'on remplace dans cette égalité X par an, on obtient :
(an-a1)²...(an-am)²=2 , ce qui est absurde puisque 2 n'est pas un carré d'entier !
Finalement le polynôme P est premier, dans tous les cas.
Réponse de Guy Philippe du
15/05/01 à 10h 49 :
Bonjour,
On pouvait aussi raisonner par l'absurde(sans faire intervenir la parité de n).
Si P n'était pas premier P=QR avec Q et R non constants .On aurait Q(ai)=-R(ai) pour tout
i d'où (Q+R)(X) =0 pour X=ai i=1 à n avec deg(Q+R) inférieur à n ce qui entraînerait
Q+R=0,Q=-R et
P=-Q^2 or quand X--->+infini comme que P et Q^2 sont unitaires on aurait
lim(P) = + infini et lim(-Q^2)---> -infini et la contradiction.
On a ainsi prouvé qu'il y avait sur Z des polynômes premiers de tous degrés(même de
degré 0)
En allant sur le site indiqué par Richard André-Jeannin: http://wims.unice.fr
on peut trouver sans effort des exemples de polynômes P composés de degrés 2 ou 4 comme
(x-3)(x-5)+1=X^2-8x+16=(x-4)^2
(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)+1=X^4-14x^3+71x^2-154x+121=(x^2-7x+11)^2
A bientôt
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Arithmétique polynômiale 
