 Réponse de Vanni Gorni du
29/04/01 à 18h 37 :
Bonjour. Le polynôme P(x) = x3 + x
+ 1 admet une racine x1 < 0 et deux racines x2, x3
imaginaires conjuguées.
Réponse de Mathieu Linet du
30/04/01 à 23h 31 :
je n'ai pas la solution mais peut etre une piste bien qu'elle
en soit pas encourageante !
pour montrer qu'un polynôme est irréductible dans Q , l'une des méthodes est de le
réduire modulo p et d'utiliser les deux théorèmes suivants :
théorème 1:
soient P un polynôme de Z[X] et p entier premier
si la réduction de P modulo p est irréductible dans Z/pZ ( non nul )
alors P est irréductible dans Q[X]
théorème 2 :
Soit P un polynôme de Z/pZ[X] de degré n > 0
P est irréductible sur Z/pZ ssi il n'a pas de racines dans les extensions K de Z/pZ qui
vérifient [K:Z/pZ] <= n/2.
pour notre polynôme P(X) = X^6 + X^2 + 1, les réductions modulo 2,3 et 5 ne fonctionnent
pas.
qui tentera la réduction modulo 7 ???
Réponse de Mathieu Linet du
01/05/01 à 17h 14 :voici je pense une
démonstration du fait que le polynôme P(X) = X^6 + X^2 + 1 est irréductible dans Q :
1) travail modulo 2
X^6 + X^2 + 1 n' a pas de racines.
P(X) = (X^3 + X + 1)^2 est donc la décomposition de P en
irréductibles.
2) travail modulo 3
P(X) = ( X^2 - 1 ) * ( X^4 + X^2 - 1 )
X^4 + X^2 - 1 est irréductible ( soit on montre qu'il n'a pas de racines dans Z/3Z et
Z/3Z [j] avec j^2 = 2, soit on montre qu'il n'est pas divisible par les trois
polynômes unitaires irréductibles de degré 2 : X^2 + 1 , X^2 + X + 2 et X^2 +
2X + 2 )
3) supposons P réductible dans Q[X] : P = QR avec 1
<= d°Q <= d°R
remarque : on peut supposer Q et R dans Z[X] et unitaires car P est unitaire
remarque bis : comme R est unitaire , d° R est invariant selon chaque réduction
modulo 2, QR = ( X^3 + X + 1 )^2 et X^3 + X + 1
irréductible
d'après l'unicité de la décomposition en irréductibles, d ° R = 3
modulo 3 , QR = ( X^2 - 1 ) * ( X^4 + X^2 - 1 ) et X^4 +
X^2 - 1 irréductible
d'où d° R >= 4 absurde .
donc P est irréductible.
Réponse de Guy Philippe du
07/05/01 à 15h 43 :
Bonjour et merci à Vanni Gorni et à Mathieu Linet pour leurs réponses
édifiantes.
J'ai retrouvé ,sur un vieux cours d'agreg une preuve utilisant la
décomposition primaire dans R[X] qui semble-t-il est la méthode évoquée par
Vanni Gorni que je vais développer sans donner tous les détails.
X^3+X+1 admet une racine réelle négative r=-0.68...non rationnelle(facile par
l'absurde)
d'où X^3+X+1=(X-r)(X^2+rX+1+r^2) puis X^6+X^2+1=(X^2-r)(X^4+rX^2+1+r^2)
on factorise le trinôme bicarré par une technique classique et on obtient en
posant a=rac(1+r^2)
P=X^6+X^2+1=(X^2-r)(X^2+rac(-r+2a)X+a)(X^2-rac(-r+2a)X+a) donc P est donc
produit de 3 trinômes unitaires du 2d degré dont on vérifie facilement qu'ils
ont un discriminant < 0 donc qu'ils sont premiers sur R.On connaît alors tous
les polynômes non constants de R[X] unitaires qui divisent P ils sont de
degrés 2 ou 4.
Dès lors si P=AB dans Q[X] avec degré de A et B >0 comme P est unitaire on
peut supposer A et B unitaires alors A et B étant aussi dans R[X] et divisant
P l'un des deux est forcément de degré 2 donc est égal à l'un des 3 trinômes
du 2d degré de la decomposition de P ce qui faux car aucun de ces 3
trinômes n'est dans Q[X] vu que
r n'est pas rationnel et que ou rac(1+r^2) n'est pas rationnel CQFD ou
rac(1+r^2) est rationnel mais alors rac(-r+rac(1+r^2)) n'est pas rationnel
CQFD(sinon -r+rac(1+r^2) serait rationnel et donc aussi r ce qui est faux).
Finalement P est bien premier sur Q.
Les adeptes de la tradition pourront toujours lire polynôme irréductible là
où j'écris polynôme premier et ceux qui voudront savoir pourquoi j'ai fait
ce choix pourront se reporter à un article que j'ai commis sur le site
:les_mathematiques.net
Amical salut à tous fans de math.
GP
|
Polynôme premier
