bonjour à tous !!!!!
Je suis en 2nde et je n'arrive pas à résoudre 2 problème que je dois rendre pour la rentrée et dont voici les énoncés:
1/ On considère le nombre qui s'écrit 20002000......2000 où on retrouve 2000 fois la séquence 2000. Ce nombre est-il le carré d'un entier?
2/résoudre dans les nombres réels l'équation:
(racine carré de sinx) +(racine carré de cosx)=1
Merci d'avance!!!!!!!
P.S:n'oubliez pas que je suis en 2nde
Thomas

réponse rapide sans trop y avoir réfléchi.
Thomas a donc intérêt a réfléchir pour trouver les erreurs éventuelles ...

Problème 1

Supposons que le nombre 200020002000.. soit bien le carré d'un nombre
entier.
On aurait donc    200020002000.. = n².
Essayons de trouver les chiffres constituant « n ».
Soit  « a » le chiffre des unités du nombre « n ».
Lorsqu'on effectue la multiplication de « n » par « n » pour retrouver
20002000., le dernier chiffre du résultat est le chiffre des unités de a² et
ce chiffre doit être zéro (le dernier chiffre de 20002000.).
Or « a » étant un chiffre, on a :    0 <= a <= 9
et les carrés possibles de a sont  a=0 -> a²=0,  a=1->a²=1, a=2 ->a²=4 .,
a=9 ->a²=81.
Donc le seul cas possible pour avoir les unités de a² = 0 est « a »=0.
Soit  « b » le chiffre des dizaines du nombre « n ».
Soit  « c » le chiffre des centaines du nombre « n ».
Soit  « d » le chiffre des milliers du nombre « n ».

La multiplication a la forme :

....c b 0.
X...c b 0.
-------------
..0 0 0 0.
....b²0.
....0.
--------------
0 2 0 0 0.

Ici, c'est le chiffre des unités de b² qui doit être = 0.
De nouveau, le seul cas possible est b=0.
On a donc :
....d c 0 0.
X...d c 0 0.
-------------
0 0 0 0 0 0.
0 0 0 0 0.
..c²0 0.
d 0 0.
--------------
0 0 2 0 0 0.

Ce qui est impossible. En effet « n »doit se terminer par deux zéros
consécutifs, donc n² se finira par quatre zéro consécutifs or il faut un 2
comme 4ème chiffre en commençant par la fin.
Comme en partant de l'hypothèse que le nombre 200020002000.. était bien le
carré d'un nombre entier, on arrive à une impossibilité, on conclut que le
nombre 200020002000.. n'est pas le carré d'un nombre entier.

Problème 2.
Les solutions sont x = 0 + 2k.Pi   et  x = Pi/2 + 2k.Pi
avec k = nombre entier.

J-P H
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Réponse de Jean Jacquelin du 23/04/01 à 11h 03 :

Si on donne les solutions sur le net, les copains qui n'ont pas de modem vont être désavantagés ! Et c'est risqué car le prof peut s'en rendre compte !

Voici donc seulement quelques conseils:

Pour la question 1 : regarder le nombre de zéro que peut avoir (à sa droite) le carré d'un nombre entier.

Pour la question 2 : Observer que la racine carrée d'un nombre compris entre 0 et 1 est plus grande que ce nombre.

Bonnes cogitations…
Réponse de Mathieu Linet du 23/04/01 à 12h 25:
1) on peut regarder par exemple la plus grande puissance de 5 qui divise 20002000....2000 si elle est impaire c'est gagner ...
2) plusieurs façons :* première ( sauvage sans peur ) : on élève au carré : cos(x) + sin(x) +2rac(cos(x))*rac(sin(x)) = 1 puis on élève à nouveau au carré après avoir isolé la racine :

[1-(cos(x)+sin(x))]² = 4cos(x)sin(x) d'où en développant :

2 - 2[cos(x)+sin(x)] = 2cos(x)sin(x)

ensuite l'astuce consiste à remarquer qu'on a faillit éliminer le produit en développant cos(x)+sin(x) au carré:

[cos(x)+sin(x)]² = 1 + 2cos(x)sin(x) d'où 2 - 2[cos(x)+sin(x)] = [cos(x)+sin(x)]² - 1

En posant U = cos(x) + sin(x) on trouve deux solutions possibles pour U

pour chacunes d'entre elles, cos(x) et sin(x) sont solutions d'une équation du second degré ( on connait le produit et la somme de ces deux nombres ) on en déduit les deux solutions : 0 et pi/2 modulo 2pi
* deuxième ( quand on connait les solutions on peut s'en douter ) : rac(cos(x)) >= cos²(x) et on a égalité ssi x=0 ou pi/2 modulo 2pi de même pour les sinus d'où le résultat en remarquant que 1 = cos²(x)+sin²(x)

Réponse de Guy Philippe du 23/04/01 à 13h 40 :
Bonjour,
pour le 1er pb c'est facile car un carré ne peut se terminer par un nombre
impair de 0
or le nombre ici envisagé se termine par 2000 donc par 3 zéros.
En effet si le carré d'un nombre n se termine par 0 ,n se termine aussi par 0
vu que si n se termine par 1,2,3,4,5,6,7,8,9 son carré se terminera par les
chiffres
1,4,9,6,5,6,9,4,1 dont aucun n'est 0.Dès lors si n se termine par k zéros
alors son carré se terminera par 2k zéros.
Pour le 2d pb.
Il faut chercher le domaine de définition de l'équation qui est D={x dans R/
sin(x) et cos(x) positifs ou nuls} afin que les racines carrées existent donc
D=[0,pi/2]+2piZ vu que les x solutions sont déterminés à 2pi près.
On cherchera donc les solutions dans [0,pi/2].
Il ya 2 solutons évidentes x=0 et x=pi/2 et on va montrer par l'absurde que
ce sont les seules.
Si x dans ]0,pi/2[ était solution alors en élevant au carré dans l'équation
donnée on aurait sin(x)+cos(x)+2rac(sin(x)).rac(cos(x))=1 puis en isolant les
racines et en élevant au carré on obtiendrait
4sin(x)cos(x)=[(1-sin(x))-cos(x)]^2
4sin(x)cos(x)=1+sin^2(x)-2sin(x)+cos^2(x)-2cos(x)(1-sin(x))
4sin(x)cos(x)=1+sin^2(x)-2sin(x)+cos^2(x)-2cos(x)+2sin(x)cos(x)
2sin(x)cos(x)=2-2sin(x)-2cos(x)
sin(x)cos(x)+sin(x)+cos(x)=1
En posant X=sin(x) et Y=cos(x) on aurait
X^2+Y^2=1 et XY+X+Y=1
de la 2ième on tirerait Y=(1-X)/(1+X) vu que 1+X non nul et en reportant dans
la 1ère
X^2+(1-X)^2/(1+X)^2=1
(1-X)^2/(1+X)^2=1-X^2   on  pourrait diviser par 1-X qui est non nul
(1-X)/(1+X)^2=1+X  puis on pourrait réduire au même dénominateur
1-X=(1+X)(1+X)^2=(1+X)^3
1-X= 1+3X+3X^2+X^3
0=X^3+3X^2+4X
X(X^2+3X+4)=0 or X^2+3X+4 ne s'annule pas vu que son discriminant est 9-16<0
d'où on aurait X=0 soit sin(x)=0 soit x= 0 et la contradiction
Finalement les solutions de l'équation donnée sont 0+2piZ et pi/2+2piZ

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