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 Question :
Quelques problèmes mathématiques
simples pour lesquels je souhaite que l'on m'explique les méthodes de résolution. Merci
d'avance. ac.
1. Une piscine est de forme strictement rectangulaire. Si l'on augmente de 7 mètres sa
longueur et que l'on diminue de 5 mètres sa largeur, sa surface reste inchangée. Mais si
l'on augmente sa longueur de 20 mètres et si l'on diminue sa largeur de 13 mètres, sa
surface augmente de 20m². Quelle est la largeur de cette piscine?
2. x et y possèdent les propriétés suivantes : x² + y² = 208 et x . y = 58
Quelle est la valeur de x + y ?
3. Si m est égal au quart de m - n, quelle est la valeur de n/m?
4. Un agent immobilier achète une part de
terrain 24300F qu'il divise en lots de
même surface. Il vend alors chaque lot 1800F. Son bénéfice est exactement égal au prix
d'achat de 6 lots. En combien de lots le terrain a-t-il été divisé?
5. Les dimensions d’ un rectangle sont a et b. Si on augmente a de 3 cm et b de 2 cm,
l’ aire du rectangle augmente de 37 cm2 mais si on diminue a de 2 cm et b de 1 cm,
l’ aire du rectangle diminue de 16 cm2. Quelles sont les valeurs de a et b ?
6. De combien de façons une assemblée de 12 personnes peut-elle désigner un
bureau comprenant un Président, un Vice-Président et un Secrétaire ?
7. Une famille se réunit pour un repas de Noël. Pour se dire bonjour 66
embrassades sont échangées. Sachant que
tous les membres ont embrassé une fois tous les autres membres, combien de membres cette
famille comprend-elle ?
8. Quelle est la valeur numérique de l’ expression (ac + bd)² + (ad – bc)²
sachant que a² + b² = 1 et que c² + d² = 1 ?
9. On considère un triangle ABC, rectangle en A. On construit extérieurement à ce
triangle, les demi-cercles C1 d’ aire S1, C2 d’ aire S2 et C3 d’ aire S3,
qui admettent respectivement pour diamètres [BC], [CA] et [AB]. Quelle est l’
expression de S1 en fonction de S2 et de S3 ?
10. 32 blocs de béton cylindriques sont empilés les uns sur les autres et forment une
colonne de 81 mètres de hauteur. On distingue deux sortes de blocs : les uns de 3 mètres
d’ épaisseur et les autres de 2 mètres d’ épaisseur. Quel est le nombre de
blocs de 2 mètres d’ épaisseur ?
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Réponse d'Alain Larroche :
- 1.Si nous désignons par x la longueur
et par y la largeur alors nous avons:
- (x+7)(y-5) = xy et (x+20)(y-13) = xy
+20. Ces deux dernières équations ne faisant que traduire l'énoncé.
- Si nous développons les deux équations
nous obtenons alors
-5x + 7y = 35 et -13x +20y = 20 +260 ce qui donne après résolution x = 140 m et y = 105
m, la largeur y demandée est donc égale à 105 mètres.
- 2. x² + y² = 208 et x . y = 58 . Mais
x² + y² = (x+y)² -2xy = (x+y)² - 2.58 = 208. Donc, (x+y)² = 208
+116 = 324.
A vous de déduire la valeur ou les valeurs de x+y!
- 3.Puisque m = (m-n)/4 vous pouvez, à
partir de cette équation déduire n en fonction de m, puis diviser n par m pour obtenir
la valeur de n/m.
- 4.Si nous appelons x le nombre de lots
alors nous avons :
1800x -24300 = bénéfices = 6.24300/x, et à vous de trouver x.
- 5. Même raisonnement que pour le
problème N°1.
- 6.Cela correspond à des arrangements:
12!/(12-9)! = 12!/9!=12.11.10.
- 7. Le résultat est 12 personnes, à
vous de trouver la méthode.
- 8.Vous développez puis réduisez
l'expression (ac + bd)² + (ad – bc)² ce qui vous donne après avoir factorisé
l'expression obtenue (a² + b²) ( c² + d²) = 1 .
- 9.Puisque le triangle est rectangle en
A, BC² = AB² + AC², d'après le théorème de Pythagore.
Mais S1 = pi.R²/2 = pi.BC²/8, S2 = pi.R²/2 = pi.AC²/8 et S3 = pi.R²/2 = pi.AB²/8,
donc S1 = S2 + S3.
- 10.Si nous appelons x le nombre de blocs
de 3 mètres d'épaisseur et y le nombre de blocs de 2 mètres d'épaisseur nous avons:
3x + 2y = 81 et x + y = 32 et il suffit maintenant de résoudre ce système de deux
équations à deux inconnues.
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Problèmes simples 