Elève de seconde, j'ai un petit souci sur ce type d'exercice. Merci d'avance

B= (8⁽ⁿ⁺¹⁾+ 8ⁿ)² / (4ⁿ-4^(n-1))³

Résoudre: si n=0, puis n=1, n=2, n=3 et enfin quel que soit n. Il faut en déduire des factorisations.

En se rappelant les quelques règles suivantes :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)³ = a² + 3ab² - 3ab² - b³

a^c . a^d = a^{(c + d)}

(a^c)^d = a^{(c . d)}

On a : (8⁽ⁿ⁺¹⁾ + 8ⁿ)² = 8^{2.(n + 1)} + 2. 8^{(2n + 1)} + 8²ⁿ

= 8²ⁿ.(8² + 2.8 + 1)

= 81. 8^{2n =} 81. 2⁶ⁿ (1).

On a aussi :

[4ⁿ - 4^(n-1)]³ = 4³ⁿ + 3.4ⁿ.4^2(n-1) - 3.4²ⁿ . 4^(n-1) - 4^3(n-1)

= 4^(3n-3) .(4³ + 3.4 – 3.4² - 1)

= 4^(3n-3) . 27

= 27 . 2^(6n-6) (2).

(1) et (2) ->

(8⁽ⁿ⁺¹⁾ + 8ⁿ)² / [4ⁿ - 4^(n-1)]³ = 81. 2⁶ⁿ / 27 . 2^(6n-6)

= 3 / 2^-6 = 3 . 2⁶ = 3 . 64 = 192.

Donc le résultat est 192 quel que soit n.

Réponse de Jean Jacquelin  du 25/10/01 à 11h 38

On trouve 192 dans tous les cas :

B= (8⁽ⁿ⁺¹⁾+ 8ⁿ)² / (4ⁿ-4^(n-1))³

B= 8²ⁿ(8+ 1)² / 4^3(n-1)(4-1)³

B= 8²ⁿ9² / 4^3(n-1)3³

B= 2⁶ⁿ3⁴ / 2^6(n-1)3³

B= 2^6n-6n+63^4-3

B= 2⁶3 = 192

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