 Réponse de Jean
Jacquelin à la question N°2 du 17/10/01 à 13h 18 :
On ne peut pas reconstituer le
puzzle sous forme de rectangle dans les trois cas donnés et dans la plus part des cas,
car les angles du triangle et du trapèze ne sont pas égaux. Par conséquent, les cotés obliques du
trapèze et du triangle ne s’alignent pas selon la diagonale du rectangle.
La figure rectangulaire donnée est
donc fausse puisqu’elle présente une ligne diagonale droite alors qu’elle
devrait être brisée.
Première méthode :
L’aire du carré est (a+b)²
L’aire du rectangle est a(a+(a+b))=a(2a+b)
Pour qu’il n’y ait ni trou ni recouvrement des pièces, il est nécessaire que
les deux aires soient égales :
a(2a+b)=(a+b)²
2a²+ab=a²+2ab+b²
a²-ab-b²=0
Seconde méthode :
Si on a bien l’alignement du
coté oblique du trapèze avec l’hypoténuse du triangle on a alors deux triangles
semblables :
Le petit a pour base (b) et pour
hauteur (a+b). Le grand a pour base (a) et pour hauteur (a+(a+b)) = (2a+b). Donc a/b =
(2a+b)/(a+b) .
D’où : a(a+b) = b(2a+b)
a²+ab = 2ab+b²
a²-ab-b² = 0
Soit r = a/b.
En divisant l’équation
a²-ab-b²=0 par b², on obtient : r²-r-1 = 0
La solution positive est r = (1+racine(5))/2.
Ce nombre connu depuis
l’antiquité a été nommé "Nombre d’or" à la Renaissance.
Il a été l’objet de beaucoup
d’étonnement et de réflexions depuis les Grecs anciens. En 1509, Fra Luca Pacioli a
écrit le fameux ouvrage "De Divina Proportione" entièrement à son sujet.
Vous trouverez des précisions
historiques dans les encyclopédies et même dans le Quid.
Si vous appréciez les
"droleries" mathématiques, jetez un coup d’œil à la question
"Des relations compliquées", dans les pages concours (université) de ce
site Espace Math.
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