 Réponse de Jean Jacquelin du 16/01/02 à 14h
35 :La démonstration la plus courte
(mais pas forcément la plus simple, car il faut connaître le calcul intégral) consiste
à sommer un élément de volume d'épaisseur dy, au niveau d'une section dont l'aire est
A(y), pour (y) variant de 0 à la hauteur h, (y) étant la distance de cette section par
rapport au sommet. Comme A(y)=B.(y/h)² avec B = aire de la base, on obtient :
V=Somme de B.(y/h)²dy = (B/3h²).y^3, pour y=0 à y=h ce qui donne
V=B.h/3
Volume du tronc de pyramide :
Soient (B) et (b) les aires respectives des sections limitant le tronc
de pyramide, (H) et (h) les hauteurs respectives de la pyramide complète et de la partie
tronquée, et (d=H-h) la hauteur du tronc.
En utilisant les relations b/B=(h/H)² et H=d+h, on trouve h=d.Öb/(ÖB-Öb)
et H=d.ÖB/(ÖB-Öb) qui,
reportés dans l'expression suivante du volume, donnent finalement :
V = (B.H/3)-(b.h/3) = [B+b+Ö(Bb)].d/3
La démonstration (longue) mais la plus simple au sens des
connaissances élémentaires nécessaires est la suivante, utilisant un principe
établi en 1629 par CAVALIERI, élève de GALILEE :
En appliquant le principe de Cavalieri à la pyramide, une section plane
de la pyramide est prise parallèlement à la base. La section obtenue est semblable à la
base. La distance h' depuis S' le sommet est plus petite que la hauteur h de la
pyramide. On a la proportion suivante s'/s=h'/h et les aires A' et A de la section et de
la base sont dans le rapport A'/A=(h'/h)²
Dans une pyramide le rapport des aires de la section obtenue par un plan
parallèle à la base et de la base elle même est égal au rapport des carrés de leurs
distances au sommet.
Ceci implique, d'après le principe de Cavalieri : Des pyramides de
bases et de hauteurs égales ont le même volume.
La base peut être transformée en un triangle de même aire, ou bien
découpée en plusieurs triangles, par conséquent il suffit de calculer le volume d'une
pyramide triangulaire.
Comme le montre la figure 2, le prisme triangulaire peut
être divisé, à l'aide de deux sections planes en trois pyramides Vl , V2
, V3 de même volume, Vl et V2 ont pour base
respectivement la base et le sommet du prisme, DEF=ABC et la hauteur du prisme comme
hauteur,BE=CF. Cependant, puisque ACF=AFD, V2 et V3 ont donc des
bases égales et pour chacune d'elles la distance du point B à la face ACFD est la
hauteur. Par suite si B est la base et h la hauteur de la pyramide, alors V= B.h/3
Le volume d'une pyramide est le tiers du volume du prisme de même base
et de même hauteur
Principe de Cavalieri : Les solides ayant la même hauteur et d'aires de
sections transversales égales ont le même volume; en particulier les prismes et
les cylindres de bases, et de hauteurs égales ont le même volume.
Le théorème peut être illustré d'une manière élémentaire,
en construisant un solide à l'aide de plaques en forme de prisme de faible hauteur et en
les déplaçant de façon à leur donner une forme différente, tout en gardant bien sûr
le même volume (Fig.1a). Les bases de ces plaques sont les sections transversales. Plus
la hauteur en est petite, plus la surface de "l'escalier" approche la forme de
la surface décrite par une fonction continue, par exemple une pile de feuilles de papier
de faible épaisseur de forme circulaire, toutes égales représente bien un cylindre
circulaire oblique (Fig.1b).
[ Extrait de : "Kleine Enzyklopädie der Mathematik", VEB
Bibliographisches Institut, Leipzig, 1075, trad.fr."Petite Encyclopédie des
Mathématiques", 1980, pp.208-209 & 211-212]
Réponse de J-P Houbard du 17/01/02
à 14h 18 :
Voici les calculs du volume d’une pyramide et d’un tronc de pyramide, quant
à dire si ce sont les plus simples . . . sûrement pas.
Soit une pyramide de hauteur " h " et dont la base est un polygone
régulier inscrit dans un cercle de rayon R.
La surface du triangle de base comprise dans l’angle A est : S1 =
(R²/2).sinA.
La surface du triangle équivalent à la hauteur " x " est :
(z²/2).sinA.
Le volume élémentaire (teinté sur le dessin) est donc dV = (z²/2).sinA.dx.
Le volume de la pyramide vaut l’intégrale de dV depuis 0 jusque h multiplié par
le nombre " n " de côtés de la pyramide.
V = n.(intég de 0 ->h) de (z²/2).sinA.dx.
Avec : z/R = (h-x)/h (voir triangles semblables dans la pyramide).
-> V = n.sinA.R²/(2h²).(intég de 0 ->h)(h-x)².dx.
Intégrale immédiate qui donne : V = n.sinA.R²/(2h²).[h²x+x³/3-x²h] de 0 à
h.
V = n.sinA.R²/(2h²) . h³/3
Avec (nR².sinA)/2 = SB (surface de la base de la pyramide) ->
V = SB.h/3.
Soit le tronc de pyramide, de surface de base " S " (grande base)
et " s " (petite base) et de hauteur " h ".
Soit H la hauteur de la pyramide si elle n’était pas tronquée.
De la première partie, on a directement :
V = S.H/3 – s(H-h)/3.
Avec S/s = (H/(H-h))² -> H = h.(S^(1/2))/(S^(1/2) – s^(1/2)) et
H – h = h.(s^(1/2))/(S^(1/2) – s^(1/2))
On a alors :
V = [h/(3.(S^(1/2) – s^(1/2))].[(S.(S^(1/2)) – s.(s^(1/2))]
En multipliant dénominateur et numérateur par [S^(1/2) + s^(1/2)], on a en
développant :
V = h.[S + s + (S.s)^(1/2)] / 3.
Réponse de Djelloul Sebaa du
17/01/02 à 22h 52 :
Bonjour amis du forum,
Voici la solution
- soit un grand cube de volume V et de longueur A tel que V = A^3
- soit un petit cube de volume v et de longueur a tel que v = a^3
- le petit cube est inscrit au centre du grand cube cad qu'ils ont le meme centre
de symetrie telque les cotes du petit cube sont paralleles avec le grand cube donc
V= A^3, v= a^3, le volume des 6 troncs pyramide est : V-v=A^3 - a^3 = (A-a )( A^2+ A.a +
a^2) soit 2 h= A-a ( h etant la hauteur du tronc
pyramide) le volume d'un tronc de pyramide est
(V -v )/6= 2h/6( A^2 + A.a + a^2) = h/3(A^2 + A.a + a^2)
Cas particulier: ( a=0 ) le volume de la pyramide est V = h/3.A^2
merci
Sebaa Djelloul
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Pyramides et troncs
