 Réponse de Jean
Jacquelin à la question N°1 du 17/10/01 à 13h 18 :La découverte de l’existence de nombres
qui ne peuvent pas être mis sous forme de fraction est attribuée à Pythagore.
Il démontra que la diagonale
d’un carré, dont la proportion par rapport au coté est la racine carrée de 2, ne
peut pas être exprimée exactement par la proportion de deux nombres entiers.
La légende veut que cent bœufs
aient été sacrifiés par ses disciples en l’honneur de cette découverte.
Pour en savoir plus, voir par
exemple l’intéressant livre de J.H.Conway & R.K.Guy, "The book of
Numbers ", Springer-Verlag, 1996.
Réponse de Jean
Jacquelin à la question N°2 du 25/10/01 à 11h 38 :
Aux époques où les calculettes n'existaient pas, on
extrayait quand même des racines carrées ! Il y a plusieurs méthodes (sans parler de
celles par tâtonnement).
Méthode du développement en série :
On met en facteur l'entier le plus voisin dont on connaît la racine carrée. Par
exemple, pour Ö5,
on met 4 en facteur, ce qui donne:
Ö5=2.Ö(5/4)=2.Ö(1+1/4)
Le développement de Ö(1+a) est le suivant, d'où l'on déduit le développement de Ö5 :
Méthode numérique "classique" :
A l'époque où les calculs se faisaient "à la
main", on posait une extraction de racine carrée comme on pose une division (pour
ceux qui savent encore faire une division à la main !).
Par exemple, effectuons Ö52803,731.
Séparer les chiffres par groupes de 2 en partant de la
virgule : 05 28 03 , 73 10.
Rechercher pour le groupe le plus à gauche (ici : 05) quel
est le carré entier inférieur le plus proche : c'est a = 2 . Le premier
chiffre du résultat est 2.
Calculer la différence = 5-a² = 5-4 = 1. Placer à droite
le groupe suivant (28) ce qui donne le reste =128.
Rechercher le plus grand chiffre b (de 0 à 9) tel que
(20a+b)b soit inférieur au reste (ici 128). On trouve b = 2. Le deuxième chiffre du
résultat est 2.
Calculer la différence = 128-(20a+b)b =128 - (40+2)2
= 44. Placer à droite le groupe suivant (03) ce qui donne le reste = 4403.
Rechercher le plus grand chiffre c tel que
(200a+20b+c)c soit inférieur au reste (ici 4403). On trouve c = 9. Le troisième
chiffre du résultat est 9.
La virgule sera pacée ici puisque le groupe suivant
(73) est situé après la virgule.
Calculer la différence = 4403-(200a+20b+c)c =
4403-(400+40+9)9 = 362. Placer à droite le groupe suivant (73) ce qui donne le reste
= 36273.
Rechercher le plus grand chiffre d tel que
(2000a+200b+2c+d)d soit inférieur au reste (ici 36273). On trouve d = 7.
Le quatrième chiffre du résultat est 7.
Calculer la différence = 36273-(2000a+200b+20c+d)d =
36273-(4000+400+180+7)7 = 4164 . Placer à droite le groupe suivant (10) ce qui
donne le reste = 416410.
Rechercher le plus grand chiffre e tel que
(20000a+2000b+200c+20d+e)e soit inférieur au reste (ici 416410). On trouve e = 9.
Le cinquième chiffre du résultat est 9.
Calculer la différence =
416410-(20000a+2000b+200c+20d+9)9 = 416410-(40000+4000+1800+140+9)9 = 2869 .
Placer à droite le groupe suivant (00) puisqu'on est au bout des chiffres donnés
après la virgule, ce qui donne le reste =286900.
Rechercher le plus grand chiffre e tel que
(200000a+20000b+2000c+200d+20e+f)f soit inférieur au reste (ici 286900). On trouve f = 0.
Le cinquième chiffre du résultat est 0.
Et ainsi de suite : on peut aller aussi loin que l'on veut
pour trouver les chiffres suivants.
Nous avons ainsi trouvé Ö52803,731 = 229,790 . . .
Il y avait une disposition des nombres
intermédiaires les uns en dessous des autres qui facilitait l'opération.
Bien sûr, cela demande une certaine aisance en calcul
mental et, pour ceux qu'une simple division "à la main"
rebute, je doute que l'extraction d'une racine carrée soit une partie de plaisir !
|
Racine carrée
