Réponse de Jeanlis à la question N°1 (21/06/01 à 17 h 18) :
Tel qu'il est rédigé l'exercice concerne une suite
récurrente à trois termes et non pas une série. Et moi aussi je n'ai pas trouvé 1/e
comme limite à p(n). Je pense que la limite est bien celle indiquée, mais l'équation
récurrente est mal donnée. Il faut que l'auteur revoit sa copie.jeanlismonde@chello.fr
Réponse
de Alban Da Silva à la question N°2 (24/05/01 à 19 h 29) :
A la question n°2, série convergente, voici ma réponse
Le a>1 fait penser à mon avis à  ….
On ecrit donc :  (ingénieux n’est-il pas… ?) , puis en sommant : 
Comme la série à termes positifs  diverge, Sn tend vers
l’infini quand n tend vers l’infini, donc Sn est plus grand que 1 à partir
d’un certain rang.
Donc à partir d’un certain rang : et donc la suite des sommes
partielles est bornée.
La série à termes positifs est donc convergente.
Nouvelle question : Mq si  1 la série précédente
diverge…..
Cordialement
Alban Da Silva
 Réponse de J-P Houbard (09/03/01 à
10 h 10):
Je suppose que ce qui tend vers 1/e est la somme des termes de la série pour n
prenant les valeurs de 1 à + l’infini.
Si c’est bien cela qu’il faut démontrer, je me suis probablement trompé
quelque part dans mon raisonnement car je trouve que c’est faux.
Malgré la probabilité que ce qui suit est faux, je vous le livre quand même car cela
pourrait donner une piste de réflexion à un autre internaute pour résoudre le
problème.
Notation utilisée : [S n=1->+infini] (p(n) signifie Somme pour n de 1 à +
l’infini des termes de p(n).
Soit à calculer : [S n=1->+infini] (p(n)
Calculons le poids de p(k) dans la somme (puisque p(k) apparaît dans plusieurs
termes par la récurrence)
p(k) = [p(k-1) + p(k-2)]/[(2k-1).(2k-3)]
p(k+1) = [p(k) + p(k-1)]/[(2k+1).(2k-1)]
p(k+2) = [p(k+1) + p(k)]/[(2k+3).(2k+1)]
Dans les membres de droite, on voit apparaître p(k) en 2
endroits.
Le poids de p(k) dans la somme des membres de droite
est après simplification de [2.p(k)]/[(2k-1).(2k+3)]
En calculant numériquement la valeur dans la somme des
membres de droite pour p(k-1) et p(k-2) lorsque k =1 et 2 (donc les poids de p(0) et p(-1)
), on trouve 1/3.
On peut donc écrire [S n=1->+infini] (p(n) = 1/3 + [S n=1->+infini] (2.p(n) / [(2n-1) . (2n+3)]
On peut aussi faire la somme en 2 fois et écrire :
1/3 + [S n=1->4] (2.p(n) /
[(2n-1) . (2n+3)] + [S n=5->+infini] (2.p(n) / [(2n-1) . (2n+3)]
Si dans la 3 ème partie, on remplace [S n=5->+infini] (2.p(n) / [(2n-1) . (2n+3)] par une autre somme dont chaque membre est supérieur, le résultat
devra être supérieur. Remplaçons le par [S n=5->+infini] (2.p(5) / (4n²)
Comme p(5)>=p(n) et 4n² < (2n-1) . (2n+3) pour n
>=5, il vient
[S n=5->+infini] (2.p(5) / (4n²)
> [S n=5->+infini] (2.p(n) / [(2n-1) . (2n+3)]
Donc on a
1/3 + [S n=1->4] (2.p(n) /
[(2n-1) . (2n+3)] + [S n=5->+infini] (2.p(5) / (4n²) > [S n
=1->+infini] (p(n)
En
calculant numériquement 1/3 + [S n=1->4] (2.p(n) / [(2n-1) . (2n+3)] = 0.36633088... et en mettant en évidence les constantes de la
somme restante ->
0.36633088 + [p(5) / 2] . [S
n=5->+infini] (1 / n²) > [S n =1->+infini] (p(n)
Toute
récurrence ayant disparu du membre de gauche de cette inéquation, le calcul de la somme
devient aisé et en remplaçant p(5) par sa valeur numérique, il vient:
0.36638.. > [S n
=1->+infini] (p(n)
Or 1/e = 0.367879...
Des 2 lignes précédentes,
on conclut que [S n =1->+oo] (p(n) ne peut être égal à 1/e.
On peut dire de ce qui précède que :
0.36633088 < [S n =1->+infini] (p(n)
< 0.36639
Précision de Jean Jacquelin (10/03/01
à 20 h 22):
Réponse à la précision demandée par
Monsieur HOUBARD: Non, ce n'est pas la somme des termes de la série
dont il est question. On demande de démontrer que p(n) tends vers 1/e lorsque n tends
tends vers l'infini, autrement dit que p(infini)=1/e.
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Série Convergente
