Monsieur,
Voici une idée de démonstration de la convergence de la série
S((sin(sin(n))/n)....si je ne m'abuse!
D'après le critère d'Abel, il suffit de prouver, puisque la série
S(1/(n+1)-1/n) converge et que la suite (1/n) converge vers 0, que la
suite S(n)=Somme de 1 à n des (sin(sin(k))) est bornée.
Il est bien connu que la suite S'(n)=Somme de 1 à n des (sin(k)) est
bornée (on utilise la majoration du module de la série partielle des
exponentielles complexes associée). Il est bien connu aussi que, si x
est positif, alors sin(x) est plus grand que le sixième du cube de x ôté
de x, et plus petit que x lui-même. Si x est négatif, l'encadrement est
le même dans le sens contraire. Considérons alors la partition de N*
définie par: N*(1)=ensemble des entiers n tels que sin(n)>0 et
N*(2)=ensemble des entiers n tels que sin(n)<0. La série partielle des
sixième des cubes de sin(k) est bornée puisque celle des sin(k) l'est
(majoration en valeur absolue évidente). La série partielle des
sin(sin(k)) peut alors être décomposée de la façon suivante: somme de 1
à n des (sin(sin(k))=somme de 1 à n avec k dans N*(1) des
(sin(sin(k))+somme de 1 à n avec k dans N*(2) des (sin(sin(k)). Chacune
des deux dernières sommes étant encadrée par deux sommes bornées d'après
les remarques précédentes, la première est bornée, ce qui montre que la
troisième hypothèse nécessaire à l'application de la règle d'Abel est
vérifiée. D'où la conclusion: somme de 1 à l'infini des (sin(sin(k))/n)
est convergente.
Si vous voyez une erreur dans ce raisonnement, je vous remercie de me le
faire savoir.
David Pouvreau-Séjourné

Réponse de Guy Philippe du 26/01/02 à 19h 38 :

Bonjour,
malheureusement votre argumentation doit être erronée car la série en question n'est pas absolument convergente vu que de |sin(x)|>(2/pi)|x| pour x dans [-pi/2,pi/2] donc pour x=sin(n) qui est dans ]-1,1[ cela donne |sin(sin(n))|/n>(2/pi)|sin(n)|/n et il est bien connu que la série de terme général |sin(n)|/n diverge vers + infini.
Or la série proposée est convergente donc semi-convergente or il est connu que pour une telle série semi-convergente la série partielle des termes positifs diverge vers +infini et l'autre vers -infini et ceci contredit ce que vous avez écrit.
j'ai donné une preuve de la convergence  de la série donnée dans le forum du site
les-mathematiques.net le 22/06/2001 à 23h 41.Pour la retrouver aller sur le forum de ce site(que je ne saurais trop vous conseiller)cliquer sur rechercher puis demander série numérique et puis faire défiler jusqu'au sujet.
Vous avez écrit que la série sin(n) est bornée ce qui est exact mais j'ai cru comprendre
que vous en deduisiez que la série des sin(n) >0 allait être aussi bornée ce qui est inexact vu que déjà la série des sin(n)/n>0 diverge vers + infini(la série sin(n)/n étant semi-convergente)et donc aussi à fortiori la série sin(n)>0.
Voilà ,c'est une série difficile .On peut aussi s'intéresser à la série cos(sin(n))/n qui elle  est beaucoup plus facile.
A bientôt peut-être,
GP

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