Ce problème (resté sans réponse complète à ce jour) a été posé à l'origine par Monsieur J.-P.Boubine dans le magazine Quadrature n°36, p.40 :

Soient a₁, a₂, . . . , a_k, . . . , a_N des réels positifs dont la somme vaut 1. Pour chaque entier naturel (i), on note n_i le nombre de a_k vérifiant . Soit :  . Il a été montré que S est borné supérieurement ( borne qui serait évidemment fonction de N ). Plus précisément exprimée, la question est : Quelle est la valeur exacte de cette borne ?

J'ai trouvé que la borne serait égale à . Mais ce résultat et sa démonstration (compliquée) est en question. Merci par avance à celui qui réussira à confirmer (ou infirmer) ce résultat par une démonstration incontestable.

Ma solution n'est probablement pas plus rigoureuse de celle de JJ, mes
conclusions sont cependant les mêmes quand à la valeur de Smax.

La somme S est maximum si tous les ni = 1 et avec a1, a2, . . . , ak, . . .
, aN  les plus élevés possible.
On a alors a1 = 1/x, a2 = 1/2x . aN = 1/Nx
Donc S sera maximum avec : 1/x + 1/2x + . + 1/Nx = 1.
Si N = 1, on a x = 1.
Pour tout autre N, on aura 1 < x < 0,5. (x ->0,5 si N->infini).
On a alors a1 = 1/x faisant partie du groupe i = 1.
Et par suite : ak fera partie du groupe i = k.
On a donc Smax = Somme depuis i=1 jusque N de (1/(2^i))^(1/2)
Qui est une progression géométrique dont le premier terme est (1/2)^(1/2),
la raison est
(1/2)^(1/2) et il y a N termes.
La somme d'une telle progression est connue et est :
Smax = (1/2)^(1/2) . [((1/2)^(1/2))^N - 1] / [(1/2)^(1/2) - 1].
Smax = [1 - ((1/2)^(1/2))^N] / [2^(1/2) - 1].
Smax = [1 - 2^(-N/2)] / [2^(1/2) - 1].
Qui est équivalent à la réponse de Jean Jacquelin que je salue.

J-P Houbard.

Réponse de Jean Jacquelin du 3/9/1 à 10h 06 :

Merci à Monsieur J-P.Houbard d'avoir tenté de répondre à la question "Somme bornée".

Malheureusement, on ne peut pas se contenter d'affirmer que " la somme S est maximum si tous les ni=1 et avec a1, a2, ..., ak, ..., aN les  plus élevés possibles ". Il faut le démontrer. C'est dans cette démonstration que se situe la difficulté. La démonstration que j'ai trouvée est longue et c'est propablement la raison qui la rend difficile à suivre et à accepter. J'espère que l'on en trouvera une plus aisée et je remercie par avance tous ceux qui voudront bien y consacrer un peu de leurs efforts.

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