j’ai montré précédemment que (somme de k =1 à l’infini)k^m/(m^k) = r/((m-1)^(m+1)) , avec r un entier. Les études numériques menées par J ; Jacquelin et Da Silva semblent montrer qu’on puisse simplifier la fraction par (m-1) pour obtenir s/((m-1)^m). Je voudrais revenir sur ce point. Si l’on suppose (hypothèse de récurrence) que : Sm(x)= (somme de k =1 à l’infini)(k^m)(x^k)=Pm(x)/((1-x)^(m+1)), avec Pm un polynôme à coefficients entiers de degré m, et de coefficient dominant égal à 1, on a, par dérivation : (somme de k =1 à l’infini)k^(m+1)(x^(k-1))=((1-x)P'm + (m+1)Pm)/((1-x)^(m+2))
En multipliant les deux membres par x, on obtient : (somme de k =1 à l’infini)k^(m+1)/(x^k)=P(m+1)/((1-x)^(m+2)), avec P(m+1) = x((1-x)Pm’ + (m+1)Pm)., ce qui montre que P(m+1) est un polynôme à coefficients entiers , de coefficient dominant égal à 1. Prenons x = 1 pour obtenir : P(m+1)(1) = (m+1)Pm(1)
Par un calcul direct, on a P2(x) = x^2+x, d’où P2(1) = 2 congru à 0, modulo 1 et modulo 2.
Si l’on fait l’ hypothèse de récurrence : Pm(1) congru à 0 modulo (m-1) et modulo m, la relation précédente : P(m+1)(1) = (m+1)Pm(1) montre que P(m+1)(1) congru à 0, modulo m et modulo (m+1).
Revenons à la somme qui nous intéresse, Sm(1/m) = (somme de k =1 à l’infini)k^m/(m^k) =Pm(1/m)/((1-1/m)^(m+1))
Multiplions numérateur et dénominateur par m^(m+1) , pour obtenir Sm(1/m)= m((m^m)Pm(1/m))/((m-1)^(m+1)). Il s’agit de montrer que m^m*Pm(1/m) est divisible par (m-1).
En posant Pm(x) = x^m +a(m-1)x^(m-1)+…..+a(1)x
On a : (m^m)Pm(1/m)= 1 + a(m-1)m+….+a(1)m^(m-1)
Comme m est congru à 1 modulo (m-1) , on voit que (m^m)Pm(1/m) est congru à:  1 +a(m-1) +…+a(1) =Pm(1) modulo (m-1). Le résultat montré un peu plus haut entraîne  alors que (m^m)Pm(1/m) est congru à 0 modulo (m-1), ce qui entraîne la simplification par (m-1).
Remarquons pour finir que la fraction simplifiéen'est pas toujours irréductible, comme le montrent les exemples de m =5, où le dénominateur n'est pas 4^5 =2^10, mais 2^9=512, et de m=7, où le dénominateur n'est pas 6^7, mais 2^4*3^6

Bravo pour la réponse de Richard André-Jeannin.
Sauf erreur la suite de polynômes P_n vérifie la relation de récurence:
P₁(x) = x
P_n(x) = [(1-x)P_n-1'(x)+nP_n-1(x)]x
Où S_n(x) = Somme(k=1 à infini) kⁿx^k = P_n/(1-x)ⁿ +1
On peut vérifier que P_n est unitaire, de coefficient constant nul, de degré
n et que si P_n= somme(i=1 à n) a_i,n*xⁱ
alors a_i,n= a_n-i+1,n..
Par exemple P₅ = x⁵ + 26x⁴ + 66x³ + 26x² + x
On a donc a₀, n = 0  et    a_1,n = a_n,n =1    pour tout n.
J'ai trouvé une expression de a _2,n pas très sympathique..
Peut on alors trouver l'expression de P_n en fonction de n ?
Alban Da Silva

Jean-François Tabardin
Merci à Jean Jacquelin pour les valeurs de la fonction. On remarque que les dénominateurs sont les puissances  2^3; 3^4; 2^9; 5^6; 108²=(3^3*2²)²; 7^8
Les variations de la fonction: elle décroît sur ]1;a] de +¥ à b avec a»3,12 et b»4,11 et croît "rapidement" sur [a;+ ¥[  de b à +¥ (quelles est sa dérivée et sa primitive?)
On pourrait calculer a et b, démontrer s'ils sont rationnels, algébriques ou transcendants(certainement compliqué), s'ils sont des variantes de constante déjà connue (e peut-être).

Réponse de Richard André -Jeannin du 27/05/01 à 19h 11 :

Pourquoi ne pas dériver terme à terme la série géométrique:(Somme de k = 1 à l'infini ) x^(-k)?Il me semble que ça marche bien et qu'on obtient la somme de la série de terme général k^m/(x^k).

Réponse de Jean Jacquelin du 29/05/01 à 12h 11 :

Voici quelques info. concernant dérivation et intégration :
S[f(k)] signifie "Somme de k=1 à infini de f(k)"
S[k^x/x^k]=S[exp(x.ln(k)-k.ln(x))]
Dérivée par rapport à x : S[k^x/x^k]'=S[exp(x.ln(k)-k.ln(x)).(ln(k)-k/x)]

S[k^x/x^k]'=S[(k^x/x^k).(ln(k)-k/x)]

S[k^x/x^k]'=S[ln(k).k^x/x^k]-S[k^(x+1)/x^(k+1)]

Les dérivées successives font apparaître des séries de plus en plus compliquées, elles-mêmes étant des sommes de séries telles que : S[(k+1)(k+2)…(k+a).(ln(k))^b.(k^(x+1))/x^(k+a+1)]

Il en est de même pour l'intégration puisque, par exemple, l'intégrale de k^x est k^x/ln(k) et l'intégrale de 1/x^k est -(k-1)/x^(k-1). Les intégrations successives par parties donnent donc des sommes de séries telles que S[(k-1)(k-2)…(k-a).(ln(k))^(-b).(k^(x))/x^(k-a)].

Le minimum de S[k^x/x^k] est obtenu pour S[ln(k).k^x/x^k]=S[k^(x+1)/x^(k+1)]. Ce point, calculé numériquement, vaut : S[k^x/x^k]=4,11254024… pour x=3,12009063…Ces deux nombres ne semblent pas être des rationnels (sous réserve, sagissant de tests purement numériques).

La figure suivante donne une représentation de la fonction et de sa dérivée



Réponse de Richard André -Jeannin du 29/05/01 à 19h 47 :

Je précise la réponse:
S(x) = (somme de k = 1 à l'infini )x^k = x/(1-x)  (|x| < 1)
S'(x) = (somme de k = 1 à l'infini ) k*x^(k-1) = 1/((1-x)^2)
Donc: (somme de k = 1 à l'infini ) k*x^k = x/((1-x)^2)
Par récurrence, il est facile de montrer que (somme de k = 1 à l'infini ) (k^m)*x^k = Pm(x)/((1-x)^(m+1), avec Pm un polynôme à coefficients entiers. Il est donc clair que la somme de la série est un nombre rationnel pour tout x rationnel ((|x| < 1), et en particulier pour x = 1/m.

Réponse de Da Silva du 29/05/01 à 20h 52 :

D'après les calculs déja faits, on a
S(2)=6/1^2 et 2/6
S(3)=33/2^3 et 3/33
S(4)=380/3^4 et 4/380
S(5)=7070/4^5 et 5/7070
S(6)=189 714/5^6 et 6 /189 714
S(7)=6 862 296 et 7 /6 862 296...........

Il y aurait fort à parier que S(n)=p(n)/(n-1)^n ôù n/p(n) pour n entier >1....
J'ai essayer de trouver des bonnes fonctions, qui via l'analyse de Fourier aurait pu nous aider mais je n'y suis pas arrivé...

Par intégration par partie, n dérivation de cos(kt) font apparaître le k^n mais je cherche alors la fonction qui par n intégration fera apparaître le 1/n^k........

Réponse de Richard André -Jeannin du 30/05/01 à 19h 38 :

Je précise que le polynôme P_m qui intervient dans ma solution est de la forme 
P_m(x) = x^m +.... (ça fait partie de l'hypothèse de récurrence) .
On a donc, en remplaçant x par 1/m:
P_m(x)/(x-1)^m+1 = P_m(1/m)/(1/m - 1)^m+1.
En multipliant haut et bas par m^m+1 la fraction devient m(1+mk)/(m-1)^m+1, avec k un entier.
Donc le dénominateur (après d'éventuelles simplifications de la fraction) est un diviseur de (m-1)^m+1.

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