 Réponse de Pierre Renfer du
18/06/01 à 9h 57 :
Bonjour,
Voici une réponse à la question
"Somme non entière" du forum d'Analyse :
Ecrivons les dénominateur en base 2 et examinons le nombre de zéros à droite pour
chaque terme.
Soit k un nombre de zéros maximal.
Alors un seul dénominateur aura ce nombre k de zéros,
car parmi deux multiples consécutifs de 2k, l'un des deux est multiple de 2k+1.
Donc la somme est une fractions irréductible, dont le
dénominateur est multiple de 2k.
Réponse de Jean Jacquelin
du 18/06/01 à 10h 53 :
Etant donné un nombre entier
quelconque N et p la puissance maximum de 2 qui le divise, nous disons que p
est le "degré de parité" de N. Le degré de parité des nombres
impairs est 0.
Nous allons démontrer la
proposition suivante : " Entre deux nombres N1 et N2
ayant le même degré de parité p, il y a toujours au moins un nombre M
dont le degré de parité pm est plus grand que p ".
N1=2p.i et N2=2p.j
avec i et j impairs. N2-N1=2p(j-i).
Puisque (j-i)>1, entre N1 et N2 il y a plus de 2p
nombres consécutifs. Le nombre M=(N1+2p) se
trouve donc entre N1 et N2. Mais M=(2p.i+2p)=2p(i+1).
Comme (i+1) est pair, le degré de parité de M est >p, CQFD.
Revenons au problème posé.
Considérons la séquence n, (n+1), …, (n+m). Nous allons
montrer qu'il existe dans cette séquence un et un seul nombre dont le degré de parité
est plus grand que le degré de parité de tous les autres.
Tous les nombres de cette séquence
ont leur propre degré de parité. Soit p la valeur maximum de cette suite de
degrés de parité. Supposons qu'il existe 2 nombres N1 et N2
qui aient le même degré de parité maximum p. Il y aurait donc entre N1
et N2 un nombre M dont le degré de parité serait supérieur. Au
quel cas, p ne serait pas le degré maximum, ce qui contraire à l'hypothèse
faite.
On a montré que, parmi n, (n+1),
…, (n+m) il y a un et un seul nombre N dont le degré de parité
p est supérieur à tous les autres. Considérons P=PGCD de n, (n+1),
…, (n+m) et utilisons le pour réduire au même dénominateur les
fractions 1/n, 1/(n+1), …, 1/(n+m) et faire leur somme (S).
S=D/P avec D=P/n+P/(n+1)+…+P/(n+m).
Le degré de parité du P est
p. Considérons la fraction 1/(n+k) avec (n+k)
différent de N, qui se trouve multipliée par P. Le degré de parité de (P/(n+k))
est >0 puisque p>degré de parité de (n+k). Au contraire, le
degré de parité de (P/N) est 0 puisque P et N ont même
degré de parité p. Tous les P/(n+k) sont pairs, sauf un qui
est impair : leur somme D est impaire. On divise ensuite D par P qui
est pair. Le résultat S n'est donc pas entier.
Conclusion : S=1/n+1/(n+1)+…+1/(n+m)
n'est pas un nombre entier.
Réponse de Richard
André-Jeannin du 24/06/01 à 18h 17 :
On a par exemple:
2/7=1/5+1/13+1/115+1/10465
En multipliant tout par 14, on a
bien le résultat cherché. Je ne vois d'ailleurs pas l'intérêt des hypothèses "
les numérateurs pairs et avec un facteur commun"
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Somme non entière 
