Il s'agit de calculer T(n) définie par la somme double suivante :

La simplification demande une transformation très simple de la somme double. Pour l'expliquer clairement, le    plus simple est de construire un tableau comportant les lignes k de 0 à n et les colonnes h de 0 à n, dans le quel on place les éléments a_h,k . On voit alors que l'on peut faire la somme des éléments de plusieurs façons qui, évidemment, donnent le même résultat. L'expression précédente revient à faire la somme ligne par ligne. On pourrait faire la somme colonne par colonne, ce qui transformerait la formule précédente en une formule équivalente. Dans le cas présent, il est intéressant de faire la somme diagonale par diagonale. La première diagonale (notée i=0) à les éléments (a_0,0, a_1,1 ,…, a_j,i+j ,…,a_n,n), la seconde diagonale (i=1) a les éléments (a_0,1, a_1,2, …, a_j,i+j, …,a_n-1,n), etc. De cette façon, on voit facilement comment on obtient :

Cette somme est nulle si (n-i) est différent de 0. Pour (n-i)=0, il ne reste dans T(n) que le seul terme
(i = n, j = 0) ce qui donne finalement T(n) = (-1)ⁿ

Réponse de J-P Houbard du 27/06/01 à 11h 49 :

La somme de k = 0 à n de   (-1)^k*S(k)/(n-k)! est égale à (-1)^n.
Elle vaut 1 pour tout n pair (nul y compris).
Elle vaut -1 pour tout n impair.
Pour autant que je ne me sois pas trompé.
Sans grande démonstration, par calculs numériques sur de petites valeurs de
n et par programme informatique sur de plus grandes valeurs de n.

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