• Question :
  Bonjour. Je suis en première S et j'ai un problème à vous soumettre...

Il s'agit de caculer 1^p + 2^p + 3^p +.........+ n^p

Le problème est: Existe -t-il une formule qui permette de calculer la somme S(n)=1+2+3+......+n, explicitement en fonction de n ?  L'idée est la suivante: trouver un polynône P tel que pour tout n, P(n)=S(n).
a)
Vérifiez que si ce polynôme P existe, alors P(n)-P(n-1) = n L'idée est de rechercher un polynôme P tel que pour tout réel x, P(x)-P(x-1)=x
b)
trouver un polynôme de degré 2 tel que P(x)-P(x-1)=x et P(1)=1. Déduisez-en que S(n)=(n(n+1))/2. (/ est le signe divisé par)
2a) Posons S₂(n) = 1²+2²+3²+...............+n²
En opérant comme dans la question 1,montrez que S₂(n) = (n(n+1)(2n+1))/6
b) Posons S₃(n) = 1³ + 2³ + 3³ +..........+n³ .
Trouvez une formule qui permet le calcule explicite de S₃(n) en fonction de n.
c) Calculez S₄(n) = 1⁴ + 2⁴ + 3⁴ +............+ n⁴.
Thomas.

Solution :

• S(n) = 1+2+3..+n = la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme égal à 1 et de raison 1.
  Dans ce cas nous savons que S(n) = (le premier terme + le dernier terme).(par le nombre de terme)/2 = (1+n).n/2.
  Cependant, cette méthode ne marcherait pas pour la somme des carrés, des cubes, etc... C'est pourquoi nous allons voir la méthode proposée avec des polynômes:
  a) Si P(n) = S(n) = 1+2+3..+n alors, P(n-1)= 1+2+3..+n -1 et
  P(n) - P(n-1) = n.
  b) Soit P(x) = ax² + bx + c alors, P(x-1) = a(x-1)² +b(x-1) +c et
  P(x) - P(x-1) = 2ax -a +b = x donc par identification, 2a = 1 et a=b=1/2. D'autre part,
  P(1) = a+b+c =1=1/2+1/2+c soit c = 0.
  Finalement, P(x) = x²/2 +x/2.
  S(n) = P(n) = n²/2 +n/2 ce qui redonne le résultat trouvé avec les suites arithmétiques.
  2)a) Même raisonnement que pour le 1)
  2)b Même raisonnemnt qu'au 1 et ici le résultat que tu dois trouver est S₃(n)= S²(n) = n²(n+1)²/4.
  2)c) Même raisonnement que pour le 1)
• 
  Alain Larroche.