Bonjour, j'aimerais poser le problème suivant: (suite du problème "sphère et cône" de l'espace Lycée). Comment inscrire une sphère donnée, de rayon R, dans un cône de révolution de volume MINIMUM. Calculer bien-sûr ce volume. J'ai trouvé le double du volume de la sphère. Cordialement.

Question N°1 : Tout d'abord bravo pour votre site. Voici le problème : (il a été présenté au bac S de 1902) C'est un problème ouvert : Circonsrire à une sphère donnée, un cône de volume maximum. Merci et bonne chance. Vincent.

Vol sphère = 4/3. Pi . R³.

r = h. tg(A/2)

R = r . tg (B/2)

2B + A = Pi -> B=(Pi-A)/2.

Volume cône = 1/3 . Pi . r² . h = 1/3. Pi. R³ /(tg(A/2).tg³(B/2))

Posons y = tg(A/2).tg³(B/2).

y = tg(A/2) . tg³( (Pi-A)/4).

Et avec tg((Pi-A)/4) = (1-tg(A/4))/(1+tg(A/4))

Et avec tg(A/2) = (2.tg(A/4))/(1-tg²(A/4)).

-> y = 2.tg(A/4) . (1-tg²(A/4))/(1+tg(A/4))^4.

On cherche le maximum de y (en tenant compte que 0 < A < Pi) en annulant la dérivée première de y par rapport à tg(A/4) et étude de signe.

On trouve le maximum de y pour tg(A/4) = 0,171572875254.

Cette valeur remise dans y donne y(max) = 0,125.

->

Volume minimum cône = 1/3. Pi. R³ / 0.125 = 8/3 . Pi . R³.

Soit le double du volume de la sphère.

Réponse de J-P Houbard à la question N°1 :

Soit R le rayon de la sphère.
Soit r le rayon du cône et h sa hauteur.
Soit un rayon r quelconque de la base du cône et P le point de percée de ce
rayon dans la sphère. On appelle Alpha l'angle fait par le rayon r ci-avant
et le rayon R de la sphère passant par le point P.
Pour avoir un cône de volume maximum, il faut 0< Alpha < Pi/2

Il vient : r = R.cos(Alpha)
         : h = R + R.sin(Alpha)

Le volume du cône est :  V = Pi.r².h/3= (Pi/3).R³. [1+
sin(Alpha)].cos²(Alpha)

Le max est trouvé en annulant la dérivée première de V par rapport à Alpha.

V' = (Pi/3).R³. [ -2 cos(Alpha).sin(Alpha)  + cos³(Alpha) -
2cos(Alpha).sin²(Alpha)]

V' = (Pi/3).R³. cos(Alpha) [ -2 sin(Alpha)   + cos²(Alpha) - 2sin²(Alpha)]
En annulant V', la solution cos(Alpha) = 0 ne convient pas (volume nul)
Il reste ce qui annule = [ -2 sin(Alpha)   + cos²(Alpha) - 2sin²(Alpha)]

-2 sin(Alpha)   + cos²(Alpha) - 2sin²(Alpha) = 0
-2 sin(Alpha)   + [1 - sin²(Alpha)] - 2sin²(Alpha)] = 0
-2 sin(Alpha)   + 1  - 3sin²(Alpha)] = 0
3sin²(Alpha)] + 2 sin(Alpha)   - 1 = 0

Equation du second degré dont les solutions sont :
Sin(Alpha) = -1 (rejeté pour limites permises de Alpha)
Sin(Alpha) = 1/3 (qui donnera le volume maximum)
Pour cet angle, cos²(Alpha) = 1 - (1/9) = 8/9

Le volume max est donc :  V = (Pi/3).R³. [(8/9).(1+1/3)] = (Pi/3).R³.32/27

V =  32 Pi.R³/81
Le rayon de sa base vaut :    r = R.cos(Alpha) = (2/3).(racine carree de
2).R
Sa hauteur vaut :     h = R + R.sin(Alpha) = R.(1 + 1/3) = 4R/3

J-P Houbard

Réponse de Jean Jacquelin N°1 à la question N°1 :

La réponse de Monsieur Houbard est certainement celle attendue par l'auteur du problème.

En effet s'il s'agit d'un cône inscrit dans une sphère ( et non pas circonscrit), il en résulte très simplement :

Soit (R) le rayon de la sphère et (a) le demi- angle d'ouverture du cône. La génératrice du cône a pour longueur 2Rcos(a). Le rayon de base du cône est : r =2Rcos(a)sin(a).
La hauteur du cône est : h=2Rcos(a)cos(a).
D'oùle volume du cône :

V=(p/3)H.r.r = (8p/3)(R3)cos4(a)sin2(a)

Notation: les chiffres en gras devraient être placés en exposant, de telle sorte que, par exemple, R3 signifie (R) puissance (3).

La dérivée de V s'annule pour 4cos3(a)sin3(a)=2cos5(a)sin(a), donc pour 2sin2(a)=cos2(a)=1-sin2(a). On trouve ainsi sin2(a)=1/3 , cos2(a)=2/3  et V= (8p/3)(R3)(4/9)(1/3)=32pR3/81.

  Réponse de Jean Jacquelin N°2 à la question N°1 :

QUESTION: Circonscrire à une sphère donnée un cône de volume maximum.

REPONSE :

Il manque peut-être une ou des conditions dans l'énonce. En effet, a-priori, le volume sera d'autant plus grand que le sommet du cône sera éloigné de la sphère. Le volume du cône tend vers l'infini lorsque la distance de son sommet àla sphere tend vers l'infini.

Si (R) est le rayon de la sphere, (y) la distance du centre de la sphère au sommet du cône circonscrit et (r) le rayon du cercle de base du cône, on a :

Longueur de la génératice (du sommet du cône au point de tangence à la sphère) = sqrt(y.y-R.R)

( sqrt étant la fonction racine carrée ) D'où : r = (R/y) sqrt(y.y-R.R)

Hauteur du cône : h = sqrt(y.y-R.R-r.r) = (y;y-R.R) / y

Volume du cône : V = (Pi/3).r.r.h = (Pi/3).R.R.(y.y-R.R).(y.y-R.R) / (y.y.y)

Cette fonction de (y) est croissante lorsque (y) croît de R à l'infini et tend vers (Pi/3).R.R.y (le tiers du volume du cylindre circonscrit), qui lui-même tend vers l'infini.

Réponse de Vanni gorni à la question N°1 (08/03/01 à 22 h 03) :

 QUESTION:
Circonscrire à une sphère donnée, un cône de volume maximum.

Soient: (C) un cercle de centre O et de rayon R et ABC un triangle isocèle de base AB circonscrit à (C) (Fig.1). Si on fait tourner autour de (CH) un demi-cercle et un demi triangle placé sur le même demi-plan déterminé par (CH) on obtient une sphère et un cône circonscrit. Posons AH = HB = r rayon de la base du cône, CH = x hauteur du cône, CA = CB = (CH² + HB²)^1/2 = (x² + r²)^1/2 longueur de la génératrice du cône et S(ABC) l’aire de la surface du triangle ABC. S(ABC) = S(AOB) + 2S(BOC) d’où S(ABC) = HB·CH = R(AB + 2BC)/2, donc rx = R[r + (x² + r²)^1/2] et on déduit que r²=R²x/(x-2R), x > 2R. Le volume du cône est V(x) = p r²x/3, par conséquent

V(x) = (p R²/3)x²/(x - 2R) = (p R²/3)[ x + 2R + 4R²/(x - 2R)], x > 2R.

Si x ® 2R à droite, V(x) ® + ¥ car 4R²/(x - 2R) ® + ¥ . Si x ® + ¥ on a V(x) ® + ¥ , puisque (x + 2R) ® + ¥ et 4R²/(x - 2R) ® 0. La droite (F) d’équation f(x) = (p R²/3)(x + 2R) est asymptote à la courbe (V) représentative de V(x); voir Fig.2 où on a laissé de côté la contrainte géométrique x > 2R, et V_S = 4p R³/3 est le volume de la sphère.

Les mathématiques élémentaires offrent la possibilité de démontrer que V(4R) = 8p R³/3 est minimum. Bref, pour tout x réel (x - 4R)² ³ 0, par conséquent x² ³ 8R(x - 2R) et si (x - 2R) > 0 on a x²/(x - 2R) ³ 8R, donc V(x) = (p R²/3)x²/(x - 2R) ³ 8p R³/3 = 2V_S.

A bientôt. Cordialement, Vanni Gorni.