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 Question de Guy Philippe du
10/09/01 à 16h 02 :Quelqu'un pourrait-il expliquer comment trouver la liste
complète des
sous-corps d'un corps de nombres du type Q[rac(2),rac(3),rac(5)]? |
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Réponse de Pierre Renfer du
11/09/01 à 10h 03 :
Bonjour,
La très belle théorie de Galois permet d'obtenir les sous-corps d'une extension normale
grâce aux sous-groupes du groupe de Galois (groupe des automorphismes du corps).
Dans l'exemple proposé le groupe de Galois G est facile à obtenir : un élément de G
conserve ou change de signe les éléments rac(2), rac(3), rac(5) de façon indépendante.
G possède donc 8 éléments d'ordre 2 : il est donc isomorphe au groupe (Z/2Z)^3 ou au
groupe des isométries de l'espace contenant les retournements autour de trois axes deux
à deux perpendiculaires, les symétries par rapport aux trois plans passant par deux des
trois axes, la symétrie centrale par rapport au point commun des trois axes et
l'identité (La version géométrique me parle plus).
Le groupe G possède 16 sous-groupes :
- le groupe réduit à l'élément neutre
- le groupe G tout entier
- 7 sous-groupes d'ordre 2, engendrés par les 7 élément d'ordre 2 de G
- 7 soous-groupes d'ordre 4
A chaque sous-groupe H de G, correspond le sous-corps des éléments invariants par tout
élément de H :Il y aura donc 16 sous-corps :
- le corps tout entier
- Q
- 7 sous corps de degré 4
- 7 sous-corps de degré 2
Les sous-corps de degré 2 sont :
Q(rac(2)),Q(rac(3)),Q(rac(5)),Q(rac(6)),Q(rac(10)),Q(rac(15)),Q(rac(30))
Les sous-corps de degré 4 sont :
Q(rac(2),rac(3)), Q(rac(2),rac(5)), Q(rac(3),rac()),
Q(rac(6),rac(5)), Q(rac(10),rac(3)), Q(rac(15),rac(2)),
Q(rac(6),rac(10)),
Réponse de Guy Philippe du
11/09/01 à 14h 23 :Bonjour et merci
beaucoup pour toutes ces explications très intéressantes tant du point de vue théorique
que du point de vue pratique.
En fait si on se donne une extension algébrique E de Q et que l'on note A le groupe des
automorphismes de E je n'arrivais pas à prouver que les applications f qui à tout
sous-corps K de E associe le groupe des K-automorphismes(sous-groupe de A) et g qui à
tout sous-goupe G de A associe le corps des invariants de G(sous-corps de E) étaient
bijectives.
Heureusement j'ai trouvé la réponse à cette question dans l'excellent livre de Pierre
Samuel intitulé "théorie algébrique des nombres" ce qui vous évitera d'avoir
à éclairer ma lanterne sur ce point !
Encore merci et à bientôt.
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Sous-corps
