 Réponse de Guy Philippe du
26/04/01 à 12h 08 :
Bonjour, juste une réponse
partielle qui permettra peut-être de faire avancer
la question.
J'ai compris cette question comme une demande d'information sur la limite
supposée exister de la suite donnée u(n).
On suppose donc que u(n)--> l
On pose v(n)=u(n+1)-u(n) alors v(n)--->0
On peut réécrire la relation donnée sous la forme
v(n+1)=[exp(u(n))-1][exp(v(n))-1]
On peut supposer v(n) non nul pout tout n sinon v(n)=0===> u(n+1)=u(n) ==>
u(n+2)=u(n+1) avec la récurrence donnée et alors u(n) est constante APCR cas
que l'on écarte dans la suite.
D'où v(n+1)/v(n)=[exp(u(n))-1]{ [exp(v(n))-1]/v(n) } et en faisant tendre n
vers +infini on obtient v(n+1)/v(n)----> exp(l)-1
De plus v(n) est le terme général d'une série "telescopique"
convergente vu
que la suite u(n) converge donc exp(l)-1=<1 d'après le critère de d'Alembert
soit l =<log(2)
En résumé si u(n)-----> l alors l =< log(2).
Bien cordialement
GP
Réponse de Jean Jacquelin
du 28/04/01 à 19h 35 :
Voici encore des informations incomplètes sur la question posée, en espérant
que cela aidera.
Comme "un bon dessin vaut mieux qu'un long discours", bien qu'un dessin ne
prouve rien, il peut aider la compréhension qui est toujours nécessaire avant de trouver
la démonstration.
Voici donc la représentation graphique de la limite U¥
de la série, en fonction de (a) pour diverses valeurs de (b) et en fonction de (b) pour
diverses valeurs de (a).
On observe (avec une grande précision) certaines propriétés de la limite U¥ qui peuvent faire l'objet de recherche de
démonstration :U¥ est maximum pour b = 2a.
U¥(a,b) = U¥((b-a),b)
c'est-à-dire que pour (b) fixé, la courbe représentative de la fonction U¥(a) est symétrique par rapport à la droite a = b/2.
|
Suites récurrentes
