Une parabole est une courbe plane et n’a donc pas de surface.

Ce que tu cherches est plus exactement la surface d’un paraboloïde de révolution engendré par la rotation d’une parabole autours de son axe principal (Ce qui donne effectivement la forme d’une antenne parabolique).

Malheureusement, la surface d’un paraboloïde ne dépend pas uniquement de son diamètre mais également de la position du point focal ou de la profondeur du paraboloïde.

-------

Soit dans un système orthonormé à 2 axes, la demi parabole d’équation:

 y = (2px)^(1/2)

La surface engendrée par cette courbe tournant autour de l’axe des x est un paraboloïde, sa surface est donnée par :

S = 2.Pi. (intégrale de 0 jusque " a " de) y.[(1 + y ’ ²)]^(1/2). dx.

où y’ est la dérivée première de y par rapport à x et " a ", la profondeur du paraboloïde.

La résolution de cette intégrale donne :

S = (2.Pi/3)*(p^(1/2))*[(2a+p)^(3/2) – p^(3/2)] (1)

Le diamètre D de ce paraboloïde est D = 2.[(2.p.a)^(1/2)]. (2)

(2) peut aussi s’écrire : D²/(16a) = p/2. (3)

Le point focal se trouvant à p/2 du sommet du paraboloïde.

-------

Regroupement des résultats :

Avec " p/2 " la distance entre le point focal et le sommet du paraboloïde.

Avec " a ", la profondeur du paraboloïde, on a :

Diamètre du paraboloïde D = 2.[(2.p.a)^(1/2)].  (Formule pratique: D²/16a = p/2).

Surface du paraboloïde S =(2.Pi/3)*(p^(1/2))*[(2a+p)^(3/2) – p^(3/2)]

-------

Exemple numérique (ne correspondant probablement pas à une antenne existante) :

Supposons D = 50 cm et " a " = 18 cm.

De (3) on tire : 2500/(16*18) = p/2

-> p = 17,36 cm.

Ceci dans (1) -> S =(2.Pi/3)*(17,36^(1/2))*[(36+17,36)^(3/2) – 17,36^(3/2)]

S = 2770 cm².

Le point focal se trouvant à p/2 = 8,68 cm du sommet du paraboloïde.

J-P Houbard.