 Réponse de Jean Jacquelin
du 16/8/1 à 16h 34 :
L'erreur que vous recherchez provient très probablement de la méthode par intégration,
alors que, pour assurer la tangence, il faut écrire l'égalité des dérivées. Ainsi que
nous allons le voir, ce problème, tel qu'il est posé ici, laisse un degré de liberté.
Par exemple, on pourra choisir comme on le veut l'abscisse Xt du point de tangence de la
droite et de la parabole. Donnons nous Xt. On a Yt=aXt+b et les deux équations suivantes.
La première assure que la droite et la parabole se coupent au point (Xt,Yt). La seconde
assure quelles sont tangentes en ce point.m.Xt^2 + n.Xt + o = aXt + b et 2m.Xt + n = a.
On peut donc exprimer m et n en fonction de o. Cela donne :
m = (o-b)/(Xt²) (eq. 1)
n = a - 2(o-b)/Xt (eq. 2)
La parabole doit passer entre deux points d'abscisse X1 et d'ordonnées respectives Y1
et (Y1+d). A l'abscisse X1, l'ordonnée de la parabole vaut Y :
Y = ((o-b)/(Xt²))(X1²) + (a-2(o-b)/Xt).X1 + o
(Y) doit être compris entre Y1 et Y1+d. Calculons d'abord o lorsque Y=Y1. On trouve :
o = b + (Y1-a.X1-b)/(1-X1/Xt)²
Calculons ensuite la variation (v) de o lorsque Y=Y1+d :
o + v = b + (Y1 + d - a.X1 - b)/(1 - X1/Xt)²
Les eq. 1 et 2 ci-dessus donnent les valeurs de n et m associées à o et (o+v)
successivement.
On a donc trouvé la fourchette dans laquelle (m,n,o) doit se trouver pour que la
parabole passe entre les deux points donnés. On voit que ces formules contiennent Xt, que
l'on peut donc fixer arbitrairement : le point où la parabole sera tangente à la droite
peut être choisi à-priori.
Cela laisse la possibilité d'ajouter une condition supplémentaire si on le
souhaite et, dans ce cas, on pourra trouver Xt pour satisfaire au mieux à cette
condition.
Ceci peut être généralisé à plusieurs paraboles successivement tangentes et
passant entre de nombreux points donnés. A titre d'exercice, il a été réalisé un
programme de calcul et représentation graphique. Son listing (Auto-Route v6-1), écrit en
PASCAL, est disponible pour les personnes intéressées.
Réponse de J-P
Houbard du 16/8/1 à 19h 54 :
Pour que la droite et la parabole soient tangentes, il suffit que leur point
de rencontre soit unique. Donc que la résolution du système de leurs
équations donne une racine double.
y = ax + b.
y = mx² + nx + o.
-> ax + b = mx² + nx + o.
mx² +x.(n-a) + o - b = 0.
Pour avoir une racine double, il faut que le déterminant soit nul, donc :
(n - a)² - 4.m.(o - b) = 0.
->
m = (n - a)² / (4.(o - b)). (1).
La relation (1) imposera que la droite et la parabole soient tangentes.
Si on veut que la parabole passe entre les points P1 et P2, en supposant que
Delta soit positif, au aura :
Y1 <= m.(X1)² + nX1 + o <= Y1 + Delta (2).
Si delta est négatif o aurait :
Y1 + Delta <= m.(X1)² + nX1 + o <= Y1 (2').
Les relations (1) et (2) (ou (2') en fonction du signe de Delta), permettent
de déterminer les valeurs pour m,n et o. (Il y a une infinité de triplets
qui convient).
Attention cependant que contrairement à ce qui semble suggéré dans l'énoncé,
on ne peut pas trouver « m »et « n » et en les gardant fixes faire varier «
o ». Si on fait varier « o », une des autres grandeurs « m » ou « n » devra
varier.
J-P Houbard
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Tangente et parabole
