 Réponse de Jean Jacquelin
du 01/10/01 à 10h 41 :Soient c et C les
longueurs des cotés des deux triangles : 3(c+C)=L , donc C=L/3-c. L'aire totale est
proportionnelle à (c²+C²).
(c²+C²) = c²+(L/3-c)² = 2c²-2Lc/3+L²/9 = 2(c-L/6)²+L²/18.
Ce terme est minimum lorsque (c-L/6)=0 donc c=L/6 et par suite C=L/3-L/6=L/6.
Conclusion : Le minimum est obtenu lorsque les deux triangles sont égaux.
Réponse de J-P Houbard du
01/10/01 à 13h 42 :
Soit C
le côté d'un triangle équilatéral. Une hauteur « h » de ce triangle = C . sin60°
=(3^0.5).C/2. La surface S = C.h/2 = (3^0.5).C²/4. Et le périmètre P = 3C.
On a donc :
S1 = (3^0.5).(C1)²/4.
P1 = 3C1
S2 = (3^0.5).(C2)²/4.
P2 = 3C2
Et P1 + P2 = L -> C1 + C2 = L/3 (1)
----------------
S1 + S2 = (3^0.5).[(C1)² + (C2)²] /4.
Avec (1) ->
S1 + S2 = (3^0.5).[(C1)² + (L/3 - C1)²] /4.
S1 + S2 = (3^0.5).[2.(C1)² - 2L.C1/3 + L²/9] /4.
Les extrema de S1 +S2 sont trouvés en annulant la
dérivée première de S1 +
S2 par rapport à C1.
(S1 +S2)' = [(3^0.5)/4] . (4C1 - 2L/3) = 0
-> C1 = L/6.
L'étude du signe de (S1 + S2)' permet de dire qu'on a un minimum de (S1 +S2)
pour C1 = L/6.
C1 = L/6 et (1) -> C1 = C2 = L/6.
S1 et S2 sera donc minimum lorsque les 2 triangles seront égaux.
On aura alors S1 = S2 = (3^0.5).(L/6)²/4 = (3^0.5).L²/144.
Et S1 + S2 = (3^0.5).L²/72.
Réponse de Wannegaine du
02/10/01 à 10h 23 :
On appellera c1 et c2 les
longueurs des côtés respectifs de T1 et T2. On a alors : 3.c1 + 3.c2 = L, i.e. c2 = L/3
- c1. La hauteur d'un triangle équilatéral de côté c vaut c.R(3)/2 où R(3) est la
racine carrée de 3, l'aire de ce triangle est donc c².R(3)/4.
Ainsi, S1 + S2 = c1².R(3)/4 + c2².R(3)/4 = (c1² +c2²).R(3)/4.
D'où S1 + S2 = (c1² + (L/3 - c1)²).R(3)/4 = (2.c1² - 2.c1.L/3 + L²/9).R(3)/4.
Donc S1 + S2 = P(c1).R(3)/4 où P(x) = 2.x² - 2.L.x/3 + L²/9. Chercher le minimum de S1
+ S2 revient à édudier la fonction polynôme P qui admet un extremum en - (-
2.L/3)/(2*2) = L/6. Cet extremum est un minimum car le coefficient dominant de P est
positif (il vaut 2). Ainsi S1 + S2 est minimale pour c1 = L/6, et donc c2 = L/3 - c1
= L/6 = c1.
Réponse de Vanni Gorni du
02/10/01 à 22h 43 :
Soient x et y les côtés des deux triangles équilatéraux T1
et T2 et S = S1 + S2
l’aire totale. Comme les deux triangles sont équilatéraux on trouve sans peine que:
S(x, y) =
(x2 + y2)×31/2 /4
x + y = L/3
x, y Î [0; L/3]
Par substitution on obtient
S(x) = [x2
+ (L/3 – x)2]×31/2/4 = [(x – L/6)2
+ L2/36]×31/2/2.
Mais (x – L/6)2 + L2/36
³ L2/36 donc si x = y = L/6 on a (x – L/6)2
= 0 par conséquent S(L/6) = L2 ×31/2/72 est
minimum.
A bientôt. Cordialement, Vanni Gorni.
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Triangles équilatéraux
