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 Question de Gael du 03/12/01 à 21h
23 :Bonsoir, voici l'énoncé : soit
ABC un triangle quelconque.
On appelle P, Q et R les pieds des hauteurs issues de A, B et C.On désigne par H
l'orthocentre du triangle ABC.
Le triangle PQR est appelé triangle orthique du triangle ABC.
L'objet du probléme est de démontrer que les hauteurs du triangle ABC sont les
bissectrices intérieures du triangle PQR.
1-Montrer que les points B, R, H et P sont sur un même cercle.
2-En déduire que les angles HBR et HPR sont égaux.
3-Démontrer de même que les angles HCQ et HPQ sont égaux.
4-Comparer les angles RCQ et QBR.
5-En déduire que (PH) est la bissectrice intérieure issue de P dans le triangle PQR.
6-Conclure.
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| Réponse de J-P Houbard du
05/12/01 à 17h 50 : Faire le
dessin pour mieux suivre.
1) Le cercle de diamètre HB passe par R puisque l’angle HRB est droit, le cercle
passe aussi par P puisque l’angle HPB est droit. (Le segment de cercle capable
d’un angle droit est le diamètre du cercle).
Les points H, B, R et P sont donc sur un même cercle.
2) On conclut : angle HBR = angle HPR car sur le cercle de diamètre HB, ces 2
angles ont la même corde HR et les sommets sont du même coté du cercle par rapport à
la corde.
3) Le cercle de diamètre CH passe par les points Q et P car les angles CQH et CPH sont
droits.
Les points Q, C, P et H sont donc sur un même cercle.
Comme sur ce cercle, les angles HCQ et HPQ ont la même corde HQ et les sommets sont du
même coté du cercle par rapport à la corde, on conclut que : angle HCQ = angle
HPQ.
4) angle RCQ = angle QBR comme ayant leurs côtés perpendiculaires 2 à 2.
5) Comme angle QBR = angle HBR et angle RCQ = angle HCQ (voir dessin) , le point 4 peut
s’écrire : angle HCQ = angle HBR.
Ceci avec les points 2 et 3 -> angle HPR = angle HPQ
Ce qui indique que PH (PA) est bissectrice de l’angle QPR.
6) On montre de manière analogue au 5 points ci dessus que RC est bissectrice de
l’angle QRP et que QB est bissectrice de l’angle PQR et donc les hauteurs du
triangle ABC sont les bissectrices du triangle PQR.
CQFD.
Réponse de Jean Jacquelin
du 05/12/01 à 20h 40 :
1/
Le triangle BHP est rectangle en P. Son cercle circonscrit a donc pour centre le milieu
de BH. Il en est de même pour le triangle rectangle BHR. Donc ce cercle ayant BH pour
diamètre passe par B, H, P et R.
2/
Deux points, B et P, de ce même cercle voient la corde HR sous des angles égaux. Donc
les angles HBR et HPR sont égaux.
3/
De la même façon, en considérant les triangles rectangles CHP et CHQ, on montre que
C, H, P et Q sont cocycliques et que les points C et P voient la corde HQ sous des angles
HCQ et HPQ égaux.
4/
Les triangles rectangles HBR et HCQ ont les angles BHR et CHQ égaux car opposés.
Leurs compléments à pi/2 c'est à dire les angles HCQ et HBR sont donc égaux. HCQ=RCQ
et HBR=QBR sont tous égaux
5/
Puisque HBR=HPR (réponse 2), HCQ=HPQ (réponse 3) et HBR=HCQ (réponse4), tous ces
angles sont égaux. En particulier HPR=HPQ donc HP (ou AP) est bissectrice de QPR.
6/
Par permutation sur (A, P), (B, Q) et (C , R), on montre de même que BQ est
bissectrice de PQR et que CR est bissectrice de QRP. Le point H est le centre du cercle
inscrit au triangle PQR.
Réponse de Pierre Renfer du
06/12/01 à 09h 13 :
La conclusion de l'exercice, magistralement résolu par J-P Houbard permet de qualifier
le triangle orthique de "triangle de lumière" dans le triangle ABC :
Si les côtés du triangle ABC sont des miroirs, un rayon de lumière porté par un
côté du triangle orthique sera réfléchi en lui-mëme après le passage par les trois
miroirs.
C'est le seul triangle de lumière possible car la composée de trois symétries
axiales par rapport aux trois côtés du triangle ABC est une "symétrie
glissée" (composée d'une symétrie axiale et d'une translation parallèlement à
l'axe) et une symétrie glissée ne transforme qu'une droite en elle-même, à savoir son
axe (alors qu'une symétrie axiale transforme en elle-même non seulement l'axe mais aussi
toute perpendiculaire à l'axe).
Cette idée permet d'ailleurs de redémontrer le résultat de l'exercice :Soient
S1,S2,S3 les symétries d'axes respectifs (BC),(AC),(AB). Soient A'=S1(A) , B'=S2(B) ,
C'=S3(C). Alors la composé S1 o S2 o S3 transforme A en A' et C' en C. Or si une
symétrie glissée transforme M en M', le milieu de MM' appartient à l'axe. Donc l'axe de
S1 o S2 o S3 passe par le milieu P de AA' et le milieu R de C'C.
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Triangle orthique
