Question d'André Chauvière du 14/02/02 à 11h 37 :

Bonjour, je propose de résoudre dans RxRxR le système :

a²+b²+ab=121

a²+c²+ac=100

b²+c²+bc=25

J'ai  trouvé 4 triplets solutions. J'aimerais avoir confirmation. Merci. André. Enseignant

Il y a effectivement quatre triplets solutions. En fait il y en a essentiellement deux si l'on identifie la solution (a,b,c) avec la solution opposée (-a,-b,-c). Je n'ai pas calculé les solutions jusqu'au bout : on tombe sur une équation bicarrée du quatrième degré. Ce qui m'a intéressé, c'est l'interprétation géométrique des solutions : Soit ABC le triangle tel que : AB=11 , AC=10 , BC=5 . Soit T le point de Torricelli de ce triangle (point depuis lequel on voit les trois côtés sous un angle de 120 degrés). Alors est solution le triplet (a,b,c), avec : a=TA , b=TB , c=TC (Les trois équations expriment le théorème de Pythagore généralisé dans les triangles TAB, TAC et TBC, avec cos(120 degrés) = -1/2). Pour la deuxième solution, il faut introduire le point S depuis lequel on voit le côté BC sous un angle de 120 degrés et les côtés AB et AC sous un angle de 60 degrés. Alors est solution le triplet (a,b,c), avec : a=-SA , b=SB , c=SC

Réponse de J-P Houbard :

On trouve effectivement 4 triplets solutions.

Ils sont :

a = 8,76283994; b = 3,58158682; c = 2,13083595.

Réponse de Jean Jacquelin :

Il y a effectivement 4 triplets solution (formules suivantes).

La distinction entre les 2 groupes de signes (+ ou -) est faite par la mise entre parenthèses de l'un des groupes. Tous les signes entre parenthèses doivent être identiques. Tous les signes non entre parenthèses doivent être identiques. Ce qui fait bien 4 possibilités.

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