 Réponse de Jean
Jacquelin du 20/01/02 à 20h 12 à la question N°5 :Je ne comprend
pas pourquoi cette question n°5, déjà posée sur un autre forum (*), est posée à
nouveau ici, alors qu'un intervenant "Di Clodo Puce" a indiqué que la solution
de Monsieur Sebaa Djelloul n'est pas exacte (et, effectivement, elle n'est pas exacte, je
l'ai constaté moi-même) et que cet intervenant a donné une méthode approchée plus
simple et plus précise.
(*) www.les-mathematiques.net/forum/read.php3?f=1&i=3632&t=3632
Réponse de Jean-Pol Houbard du
22/01/02 à 16h 59 à la question N°5 :
Réponse à la Question N°5.
Comme je l’ai déjà mentionné à plusieurs reprises, la trisection d’un angle
de 60° ou la construction d’un angle de 20° ou de 40° à la latte non graduée et
au compas est impossible.
Cela a été démontré il y a belle lurette par plusieurs Mathématiciens célèbres.
Il existe une multitude de façons connues de construire des angles approchant (mais
sans y arriver) les angles de 20° et 40°.
La méthode proposée par Monsieur Sebaa Djelloul fait partie de ces dernières, mais,
pas plus qu’elles, ne construit un angle d’exactement 20° ou 40°.
Un calcul long , bien que sans réelles difficultés, permet de trouver combien
mesurent les angles obtenus par la méthode proposée par Monsieur Sebaa Djelloul.
Je me suis borné à faire le calcul pour l’angle de " soit
disant " 40°. Il fait en réalité 40,2393°. Je n’ai pas fait les calculs
pour l’angle de 20°, mais les conclusions seraient les mêmes (c’est à dire
différent de 20°).
La méthode ne permet pas de construire exactement ces angles.
Si Monsieur Sebaa Djelloul reste encore sceptique, il peut refaire les calculs que
j’ai effectués, en voici la marche à suivre :
Calcul analytique.
On choisit, AB comme axe des x, le centre de C1 comme origine.
Pour la facilité d’écriture on prend |AB| = 1.
On a alors :
Equation de C1 : x² + y² = 1.
Equation de C2 : (x-1)² + y² = 1.
On écrit l’équation de la droite AE3, passant par l’origine et de pente
(tg30°) connue,
soit y = x/(3^1/2) cette équation.
Le point E3 se trouve en résolvant le système C1 et droite AE3.
On trouve E3( -(3^(1/2), -1/2).
Ensuite, on cherche l’équation de la droite AF3 (qui est y = -x/(3^1/2))
Et sa rencontre avec C2 qui donne F3(3/2, -(3^(1/2))/2).
Par tg2A = 2tgA/(1-tg²A), on calcule tg15° à partir de tg 30° et ensuite tg7.5° à
partir de tg15° (en conservant les racines de 3 pour éviter les erreurs de calculs).
On peut alors trouver l’équation de la droite AE2 et par suite les coordonnées
de E2, point de rencontre de la droite avec C1, on trouve :
E2[-(((7-4.(3)^(1/2))/(16-8.3^(1/2)-4.(2-3^(1/2))^(1/2))^(1/2)) ;
-(((9-4.(3)^(1/2)-4( 2-(3)^1/2))^(1/2))/(16-8.3^(1/2)-4.(2-3^(1/2))^(1/2))^(1/2) )].
Et ceci aux erreurs de recopie près.
Par un procédé similaire, on trouve l’équation de la droite AF2 et ensuite les
coordonnées de F2 rencontre de AF2 avec C2.
(Je n’ai pas le courage de les retranscrire).
On a maintenant les coordonnées de E2, F2, E3 et F3.
On écrit alors l’équation des droites E2F2 et E3F3.
On résout ce système et on trouve les coordonnées du point G.
L’équation de la // à ox passant par G est ensuite immédiate.
On trouve alors E4, en résolvant le système de cette // avec C1.
La tangente de l’angle AE4G est alors donné par la pente de la droite AE4
(immédiate puisque A(0,0).
On trouve tg(AE4G) = 0,846242049649
qui donne l’angle AEG = 40,2393°.
(OUF, je renonce à vérifier mes calculs, car même s’il y a une petite erreur
quelque part, cela ne changerait pas les conclusions).
J-P Houbard.
Réponses de Jean-Pol
Houbard du 14/12/01 à 16h 24 :
Commençons par la question 3.
Quand M. Sebaa Djelloul dit " quel que soient les points E et F tel
que la droite EF / / AB . . . " , je pense que ce n’est exact que si les
points E et F choisis sont symétriques par rapport à la droite CD (comme sur le dessin).
Si par exemple, on conserve le point E mais qu'on choisit F comme le second point de
rencontre de C2 avec la droite // à AB passant par F cela n'est plus valable. . .
Avec cette restriction, il vient immédiatement que la
droite CD est axe de symétrie de la figure et que donc les médiatrices de AE et de BF se
coupent sur cet axe -> les trois médiatrices des segments EA, AB et BF se coupent
en un seul point G.
Comme les points de la médiatrice d'un
segment sont équidistants des extrémités du segment, on conclut que: GE=GA; GA=GB;
GB= GF et que donc GE=GA=GB=GF.
Les points G, A, B et F sont donc sur le cercle de
centre G et de rayon R = |GE|.
Comme de plus, AE = AB = BF, les triangles EGA, AGB et BEF
sont isométriques (ils pourraient ne l'être qu'a un retournement près, mais ceci
n'influe pas sur la suite) ayant leurs 3 côtés égaux 2 à 2. On conclut donc que les
angles EGA, AGB et BGF sont égaux et donc que la demi droite GB coupe l'angle EGF au 1/3
de sa valeur.
Dans le triangle EGA, EA = b = 2R.sin(EGA/2)
(1).
La corde EF du cercle de centre G et de rayon R vaut: EF =
c = 2R.sin (EGF/2). (2)
Comme angle EGF = 3*angle EGA et avec sin(3x) =
3.sinx-4sin³x, (1) et (2) ->
c/2R = 3b/2R - 4(b/2R)³ -> aprés mise au même
dénominateur et simplification, il vient:
R = [b³/(3b-c)]^0.5.
--------------------
Question 2
La trisection d'un angle à la latte (non graduée)
et au compas n'est pas possible. Ici on précise règle et donc latte graduée.
On va donc se servir du résultat de la question 3.
Soit G le sommet de l'angle de 60° donné. Avec G
comme centre, on trace un cercle de rayon quelconque mais connu soit R la mesure de ce
rayon. Ce cercle coupe les côtés de l'angle aux point que l'on note E et F, le triangle
GEF est équilatéral, on a R = |EF|
De la relation : R =
[b³/(3b-c)]^0.5 trouvée par la question 3 et comme le triangle GEF est équilatéral, on
a R = |EF| = c, on tire alors : b³ - 3b.R² + R³ = 0.
Comme R est connu, on a une équation du 3ème degré en b
que l'on résoud comme étudié dans ce forum précédemment, on trouve alors: b =
-1,87938524157R ou 1,53208888624R ou 0.347296355334R.
"b" étant une longueur, la valeur négative est
à rejeter. La valeur de b qui correspond à la trisection de l'angle est b =
0.347296355334R. (R connu), on calcule la valeur de b.
Avec F comme centre, on trace un arc de cercle de rayon
"b" et il coupe le cercle de centre G et de rayon R en un point B tel que
l'angle BGF = 20°.
On voit alors le pourquoi de la question 1 car en partant
de "b³ - 3b.R² + R³ = 0" évoqué dans la question 3, en prenant un
rayon unité on a à résoudre: b³ - 3b + 1 = 0.
-------------
Question 1
Si le but des 3 questions est de couper un angle de 60°
sans calcul et uniquement à la latte (non graduée) et au compas, il a été
démontré par de grands mathématiciens que c'était impossible. C'est ainsi que la
construction d'un polygone régulier à 18 côtés (qui a des angles au centre
soutenant les côtés = 20° = 1/3 de 60°) est impossible à la latte (non graduée) et
au compas. Il existe des méthodes (entre autre une due à Thalès) qui permettent de
l'approcher (mais approcher seulement).
Je ne pense pas que permettre la règle (latte graduée)
mais sans utiliser de calcul pour la résolution de l'équation du 3ème degré puisse
conduire à la résolution du problème évoqué dans la question 2.
Nous verrons ce qu'en penserons les autres intervenants.
Jean-Pol Houbard.
Question 4.
Je ne vois pas bien ce que je pourrais ajouter à mes réponses précédentes.
Je pense que la trisection d’un angle de 60° (dans ce cas) à la latte non
graduée et au compas est impossible.
Si on permet l’utilisation de la règle graduée, cela devient possible si on
introduit la mesure du rayon (mesuré à la règle) dans l’équation b³ - 3b.R² +
R³ = 0 (voir ma réponse précédente à la question 2), si ensuite on résout cette
équation comme simple équation du troisième degré (par exemple en utilisant la
méthode largement décrite lors de précédentes questions sur ce sujet sur ce forum).
Avec la valeur de " b " trouvée, on fait un arc de cercle avec le
compas ouvert avec la mesure " b " (à la règle pour
l’ouverture du compas) comme indiqué dans ma réponse précédente à la question 2.
. .
J-P Houbard
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Trisection angulaire
