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 Question de Djelloul Sebaa
du 16/04/01 à 21h 59 :
Diviser l'angle quelconque FCH en 3
parties égales à l'aide d'un compas et d'une règle (sommet en C). Soit le carré ABCD
inscrit dans un cercle de rayon R(voir schéma ci-joint), tel que : 
Soit E un point appartenant à la droite
(AD), situé à l'extérieur de celui-ci, tel que: Et
 .
Soit la droite (D) passant par E et
coupant la droite (DC) en un point G et le cercle en un point F.
Questions:
1) Quelque soit le point F appartenant à l'arc DC (du cercle) et le point G appartenant
à la droite (DC), démontrer que :
2) Si on a :
-
Vérifier que: l'angle CGF = 2 (GFC) c'est à dire : 2 fois l'angle (GFC).
- Verifiez le resulat à l'aide du compas et de la règle
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Réponse de Jean-Pol Houbard
:
Le dessin étant invisible sur le site, j'ignore ce qu'est le point H
mentionné dans la première partie du problème. Je me suis donc borné à
répondre à la seconde partie.
Par hypothèse, on a :
(FC)² = (GC)² + (GC) . (GF) (éq 1).
Dans le triangle GFC on a :
(FC)² = (GC)² + (GF)² - 2(GC). (GF). cos(CGF).
(FC)² = (GC)² + (GF).[(GF) - 2 (GC). cos(CGF)].
Ce qui donne aves l'éq 1 :
(GF) = (GC) . [1 + 2.cos(CGF)] (éq 2).
Dans le triangle GFC, on a aussi :
(GC)² = (GF)² + (FC)² - 2(GF).(FC).cos(GFC).
(FC)² = (GC)² + (GF). [2(FC).cos(GFC) - (GF)].
Ce qui donne avec l'éq 1 :
(GC) = 2(FC).cos(GFC) - (GF) (éq 3).
Dans le triangle DGE, on a :
(DE) = (DG) tg(DGE)
(3 - 3^0.5) . a = [((3^0.5) a) - (GC)].tg(DGE).
tg(DGE) = (3 - 3^0.5) . a / [((3^0.5) a) - (GC)].
Or, (CGF) = 180° - (DGE) -> tg(CGF) = - tg(DGE).
On a donc :
tg(CGF) = (3^0.5 - 3) . a / [((3^0.5) a) - (GC)]. (éq 4).
Il reste à éliminer (FC), (GC) et (GF) des equations 1 à 4.
(éq 1)-> (GF) = [(FC)² - (GC)²]/(GC).
Avec l'éq 2 -> [(FC)² - (GC)²]/(GC) = 1 + 2cos(CGF) (éq 5).
Avec l'éq 3 -> (GC) = 2 (FC) cos(GFC) - [(FC)² - (GC)²]/(GC) (éq 6).
L'éq 4 donne : (GC) = (3¨0.5).a - [ (3^0.5 - 3) . a / tg(CGF)] (éq 7).
L'éq 6 donne : 1 = [2 (FC) /(GC)].cos(GFC) - [(FC)² - (GC)²]/(GC)² .
Et avec l'éq 5 -> 1 = [2 (FC) /(GC)].cos(GFC) - [1 + 2cos(CGF)].
Ce qui donne : [(FC) /(GC)].cos(GFC) - cos(CGF) = 1. (éq 8).
Les éq 7 et 8 -> 1 = [[(FC) cos(GFC)]/[ (3¨0.5).a - [ (3^0.5 - 3) . a /
tg(CGF)]]] - cos(CGF). (éq 9).
Les éq 5 et 7 -> [(FC)² / [(3¨0.5).a - [ (3^0.5 - 3) . a / tg(CGF)]]²] - 1 =
1 + 2cos(CGF)
(FC)² = 2.[ 1 + cos(CGF)] . [(3¨0.5).a - [ (3^0.5 - 3) . a / tg(CGF)]]²
(éq 10).
L'éq 9 -> (FC) = [[1 + cos(CGF)] / cos(GFC)]² . )]/[ (3¨0.5).a - [ (3^0.5 -
3) . a / tg(CGF)]].
-> (FC)² = [[1 + cos(CGF)] / cos(GFC)]² . )]² / [ (3¨0.5).a - [ (3^0.5 - 3)
. a / tg(CGF)]]². (éq 11).
Les éq 10 et 11 donnent :
2.[ 1 + cos(CGF)] = [[1 + cos(CGF)] / cos(GFC)]² . )]²
-> 2 cos²(CGF) = 1 + cos(CGF)
-> cos²(CGF) = [1 + cos(CGF)]/2 (éq 12).
Or on sait que cos²(Alpha) = [1 + cos(2 Alpha)]/2 (eq 13).
Les éq 12 et 13 permettent de conclure en posant Alpha = (GFC) que (CGF) =
2 Alpha.
Et donc que :
2.(GFC) = (CGF).
CQFD.
J-P Houbard.
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Trisection
