1) Calculer le rayon R du cercle en fonction des longueurs AB, AC et CB du triangle ABC?
2) Tracer le cercle lorsque : a)  EF = 1/2 FB b)  EF = FB c)  EF = 2FB
Merci.

Bonjour, je voudrais vous proposer une réponse partielle.

Fig.1

Soient, Fig.1: FBC = x, BCA = g , BO = FO = EO = R. Après avoir tracé les médiatrices MO et NO des cordes BF et FE on a: BF = 2·BM = 2·BO·sin(BOM) = 2R·sin(90 - x) en plus FE = 2·FN = 2·FO·sin(FON) = 2R·sin(BOC – BOF - NOC) = 2R·sin(2x + g - 90). Par hypothèse

BF = l ·FE, l = 1/2, 1, 2,

donc il faut résoudre les trois équations

sin(90 - x) = l · sin(2x + g - 90), l = 1/2, 1, 2.

Dans le cas 2.b) on a BF = FE, c’est-à-dire l = 1, et l’équation sin(90 - x) = sin(2x + g - 90) admet deux racines:

1. x = 180 - g , c’est-à-dire FBC = 180 - g , mais si BF//AC on aboutit à une impossibilité;
2. x = (180 - g ) / 3, c’est-à-dire FBC = ACV / 3.

Par conséquent on peut ramener le problème à la trisection de l’angle ACV à l’aide, par exemple, d’une hyperbole particulière (Pappus).

Fig.2

Il s’agit Fig.2 d’une hyperbole (G ) dont les asymptotes forment un angle de 120 degrés entre eux. Dans un repère orthogonal d’origine O’ posons l’axe focal TU = 2a on obtient alors b = a·3^{1/ 2} et l’équation de l’hyperbole x² / a² - y² / b² = 1 prend donc la forme (G ): y² = 3x² - 3a². Si V est un point placé sur l’axe des abscisses tel que O’U = UV = a on peut démontrer (*) que pour tout point P de (G ) l’angle PVT = 2·PTV. Traçons la médiatrice (D) du segment TV et le cercle de centre C, C Î (D), et rayon CV, ce cercle coupe l’hyperbole en P. L’angle TPV = 180 – TCV / 2 et dans le triangle PTV on a 3·PTV + TPV = 180 par conséquent PTV = TCV / 6; mais PCV = 2·PTV donc

PCV = TCV / 3.

(J.F. Montucla, Histoire des recherches sur la quadrature du cercle avec une addition concernant le problème de la duplication du cube et de la trisection, Paris, 1831).

Remarque - Le cercle de centre C et rayon CV coupe l’hyperbole (G ) aussi en Q et R car la trisection est un problème de troisième degré.

Fig.3

Finalement, à l’aide de la construction ci dessus on trouve PCV = ACV / 3 Fig.3, au moyen d’une droite passant par B et parallèle au segment PC on peut tracer la corde BF avec laquelle il est facile de trouver le centre O du cercle cherché.

(*) Propriété de l’hyperbole (G ).

Fig.4

La médiatrice (D) du segment TV Fig.4 coupe le segment TV en H et le segment PT en J donc l’angle JTV = JVT. Soient O’K et PK les coordonnées du point P, pour déterminer l’équation du lieu des points P il suffit que la droite JV soit bissectrice de l’angle PVT. Suivant le théorème de la bissectrice on a JP/JT = PV/TV, d’autre part JP/JT = HK/TH , et l'on en déduit PV/TV = HK/TH. Mais PV = (KV² + PK²)^1/2 = ((2a – x)² + y²)^1/2, TV = 3a, TH = 3a/2 et HK = x – a/2 d’où l’équation de l’hyperbole (G ): y² = 3x² - 3a².

A bientôt. Cordialement, Vanni Gorni.

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