Bonjour, dans un exercice de physique statistique,  je dois calculer l'intégrale de 0 à l'infini de la fonction f(z) = z^(x-1) / (exp(z) - 1). Dans le corrigé on nous donne la réponse que cette intégrale vaut gamma(x) * zeta(x). Comment arrive-t-on à cette formule? Existe-t-il une forme intégrale de la fonction zeta?

La forme intégrale que vous avez est "classique" : on la trouve dans les formulaires de fonctions spéciales ou dans les listes d'intégrales définies. Voici un exemple de développement en série qui fait la liaison entre cette intégrale et les fonctions gamma et zeta (présentation superficielle et sans justification) :

Réponse de Guy Philippe :

C'est un résultat classique ,un peu technique mais qui réjouira les amateurs d'analyse.
Par commodité je change de notation ,je mettrai s pour z avec s>1 dans la suite et x pour z.Donc x est la variable d'intégration et s>1 le parmètre.
On pose f(x)=x^(s-1)/(exp(x)-1) pour x>0 et I(f) voudra dire intégrale généralisée de f  entre 0 et +infini.
La convergence de I'intégrale I(f) en 0+ et  en +infini ne pose pas de pb.
On multiplie "haut et bas" f(x) par exp(-x)  on obtient x^(s-1)exp(-x)/(1-exp(-x)) car on  "pense"  à I(x^(s-1)exp(-x))=gamma(x).
Or 1/(1-exp(-x))=S(exp(-kx)) qui désigne par définition la somme de la série géométrique
de raison exp(-x) qui converge vu que |exp(-x)|<1 d'où
f(x)= x^(s-1)exp(-x)S(exp(-kx));coupons cette somme S en deux (somme partielle+reste d'ordre n)
f(x)=x^(s-1)exp(-x)Sn(exp(-kx))+ x^(s-1)exp(-x)Rn(exp(-kx))=fn(x)+gn(x) (notations évidentes) et posons Jn=I(fn) puis Kn=I(gn) après avoir prouvé l'existence de ces 2
intégrales généralisées.
Preuve de l'existence de Jn;le seul pb de convergence est en +infini vu que s>1.
Or il est clair que I[x^(s-1)exp(-x)exp(-kx)]=I[x^(s-1)exp(-k-1)x]= (1/(k+1)^s)gamma(x) grâce au changement de variable (k+1)x=t (justifier en remplaçant +infini par A puis faire tendre A vers +infini).
Alors Jn=I(fn)=I[x^(s-1)exp(-x)Sn(exp(-kx)]=Sn(I(x^(s-1)exp(-k-1)x(justifier comme précédemment avec A--->+infini) d'où Jn=Sn(gamma(x).(1/(k+1)^s)=gamma(x)Sn(1/(k+1)^s)------>gamma(x).zeta(x)
quand n--->+infini.
Il reste à prouver que Kn=I(gn)--->0 quand n--->+infini ce qui s'obtient en coupant l'intervalle d'intégration [0,+infini[ en deux parties [0,a] et [a,+infini[ avec a>0 et en montrant que les intégrales de gn sur ces 2 intervalles existent et convergent vers 0 quand n tend vers +infini.Ceci ne présentant pas de grosses difficultés.
C'est de l'analyse pure et dure !
J'espère que toutes ces explications parfois incomplètes vous auront aidé à comprendre
cette très jolie question qui est assez typique des questions d'analyse fine ou pour le moins vous auront mis sur la voie de la terminer par vous même.

Réponse de Richard André-Jeannin :

La fonction à intégrer peut s'écrire: z^(x-1)*e^(-z)/(1-e^(-z)). On  développe 1/(1-e^(-z)) en série entière (série géomérique) et on intègre terme à terme la série obtenue; on a donc à intégrer des fonctions de la forme: z^(x-1)*e^(-z)*e^(-nz)=z^(x-1)*e^(-(n+1)z). Le changement de variables u=(n+1)z dans chaque intégrale montre que les intégrales valent

gamma(x)/(n+1)^x. Il suffit de sommer de n=0 à l'infini pour obtenir gamma(x)*dzéta(x).

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