Géocol
(mémento géométrique niveau collège)

Triangles.

1) Triangle isocèle. (6^ième).
a) Définitions.
On appelle triangle isocèle un triangle possédant deux côtés de même longueur.

Un triangle ABC est dit isocèle en A si AB = AC. Le point A est alors appelé sommet principal de ce triangle isocèle en A. est appelé angle principal. Le côté [BC] est appelé base de ce triangle isocèle en A.

b) Propriétés. (6^ième).
Proiso 1. Un triangle isocèle admet pour axe de symétrie la médiatrice de sa base, qui se trouve être également la bissectrice de son angle principal et la hauteur issue du sommet principal.

Proiso 2. Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base ont la même mesure.

Proiso 3. Réciproque de la précédente. Si un triangle a deux angles de même mesure alors ce triangle est isocèle.

2) Triangle équilatéral.
a) Définitions. (6^ième).
On appelle triangle équilatéral un triangle possédant ses trois côtés de même longueur. Un triangle équilatéral est donc un triangle isocèle particulier avec trois sommets principaux.

b) Propriétés. (6^ième).
Proequi 1. Les trois axes de symétrie d’un triangle équilatéral sont les médiatrices de ses côtés, concourantes en un point.

Proequi 2. Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles ont la même mesure (60°).

Proequi 3. Réciproque de la précédente.Si un triangle a trois angles de même mesure alors ce triangle est équilatéral.

3) Triangle rectangle.
a) Définition. (6^ième).
On appelle triangle rectangle un triangle possédant un angle droit.

b) Propriétés.
Protri 1. (5^ième). Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.

Protri 2. (5^ième). Réciproque de la précédente. Si les deux angles d’un triangle sont complémentaires alors ce triangle est rectangle.

Protri 3. (4^ième). Le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est le centre de son cercle circonscrit.

Protri 4. (4^ième). Réciproque de la précédente. Un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre du cercle est rectangle.

4) Théorème de Pythagore
a) Théorème direct. (4^ième).
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des  deux autres côtés.

Ainsi, si le triangle OMP est rectangle en M, alors OP² = OM² + PM² .Cette dernière égalité est appelée égalité de Pythagore.

Conséquence : si le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.

b) Théorème réciproque. (4^ième).
Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et le plus grand des trois côtés est appelée hypoténuse.

5) Inégalité triangulaire. (5^ième).
Etant donné un triangle, la longueur d’un côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. Ainsi, si nous avons un triangle ABC :
AB £  AC + BC ; AC £  AB + BC et BC £  AB + AC.