Géocol
(mémento géométrique niveau collège)

Transformations et vecteurs.

1) Translation. (4^ième).
a) Définition.
Dire que le point A’ est l’image de A par la translation transformant B en C équivaut à dire que AA’CB est un parallélogramme.
b) Propriétés.
Transpro1.
Une figure et son image par une translation sont superposables.
Transpro2.
L’ image d’une droite d par une translation est une droite d’ parallèle à d.
Transpro3.
L’ image d’un segment [AB]  par une translation est un segment [A’B’] parallèle à [AB] et de même longueur que [AB].
Transpro4.
L’ image d’un cercle  par une translation est un cercle de même rayon.
Transpro5.
L’ image d’un angle  par une translation est un angle de même  mesure.

2) Vecteurs. (3^ième).
a) Définition.
Etant donnés deux points distincts A et A’, B, C, D, et B’, C’, D’ leurs images par la translation transformant A en A’. Les couples (A,A’), (B,B’), (C,C’) et

(D,D’) définissent un vecteur et on note  =  =  = .

b) Egalités vectorielles.

Si  =   alors (AA’) // (BB’), [AA’) et [BB’) sont de même sens et AA’ = BB’.
Un vecteur est donc entièrement caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur.
c) Propriétés.

Provect 1. Si  = , alors ABDC est un parallélogramme.

Provect 2. (Propriété réciproque de la précédente).

Si ABDC est un parallélogramme, alors  = .

Provect 3. Si  = , alors les segments [AD] et [BC] ont même milieu.
Provect 4. (Propriété réciproque de la précédente).
Si les segments [AD] et [BC] ont même milieu, alors  = .

d) Somme vectorielle.
La translation de vecteur  suivie de la translation de vecteur est appelée composée de ces deux translations et correspond à la translation de

vecteur .

  est appelé somme des deux vecteurs et et on note

 = +   cette dernière relation étant appelée relation de Chasles.

e) Règle du parallélogramme.
Etant donnés trois points A, B et C non alignés, la somme des vecteurs  et  est le vecteur avec ABMC parallélogramme.

3) Coordonnées. (3^ième).
a)Vecteur.
Le plan étant muni d’un repère (O, I, J) les coordonnées d’un vecteur  sont ( x_B - x_A ; y_B - y_A ) si A et B sont deux points ayant pour coordonnées ( x_A ;  y_A ) et ( x_B ; y_B ).

b) Milieu d’un segment.
Le plan étant muni d’un repère (O, I, J) les coordonnées du milieu M  d’un segment [AB]  sont :

x_{M =} ( x_A + x_B )/2 et y_M = ( y_A + y_B )/2

si A et B sont deux points ayant pour coordonnées ( x_A ;  y_A ) et ( x_B ; y_B ).

b) Distance de deux points.
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O, I, J) si A et B sont deux points ayant pour coordonnées ( x_A ;  y_A ) et ( x_B ; y_B ) alors

 AB² = ( x_B - x_A)² + ( y_B - y_A )²

4) Rotation. (3^ième).
a) Définition.
Etant donnés un point A et un angle de mesure x, l’image d’un point M distinct de O par la rotation de sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre) de centre A et d’angle de mesure x est le point M’ tel que AM’ = AM, = x et on se déplace de M vers M’ dans le sens direct.
b) Propriétés.
Prorot 1.
L’image de A, centre de la rotation, est A lui-même. C’est le seul point invariant par la rotation.
Prorot 2.
Une rotation conserve les longueurs, les alignements, les angles et les aires.